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佛宿山人

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数学与哲学(五)  

2016-12-09 18:39:42|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 罗素悖论引起的轩然大波

——第三次数学危机

康托的集合论的成果使数学家们欢欣鼓舞,集合论不但使人们认识了实在的无穷,而且自然而然地被看成数学的基础。

集合论是数学的基础,这里面有两层意思。

第一层意思:不论哪一门数学,开宗明义,总得有自己的研究对象。这些研究对象,就形成一个集合,或一些集合。几何要研究点的集合、直线的集合、图形的集合,算术要研究整数和分数的集合,微积分要研究实数的集合、函数的集合。每门数学都用得上集合论。

第二层意思:数学要研究数与形。有了解析几何,形可以转化为数,因而归根结底要研究数。数有复数、实数、有理数、整数、自然数。但复数可以归结为实数对,实数可以归结为有理数的分割,有理数可以归结为整数之比,整数可以归结为自然数。全部数学就归结为自然数了。自然数又归结为什么呢? 19世纪的数学家与逻辑学家弗雷格,根据康托集合论的思想,写了一本《算术基础》,主张把算术的基础归结为逻辑,逻辑是普遍承认的推理规则,它在各门科学中都被不加怀疑地使用。如果数学可以归结为算术,算术又可以归结为逻辑,数学大厦也就有了稳固的基础了。

5.1  逻辑——集合——数

弗雷格从逻辑中所谓概念的外延出发。比如,“狗”是一个概念,与这个概念相符的东西都是狗。于是,这个概念的外延就是所有的狗。“太阳系中的行星”这个概念的外延就是地球、金星、木星、水星、火星……。

这样一来一个概念可以确定一些事物,这些事物组成一个集合。不过,弗雷格没有使用康托的说法:把我们直觉的或思想的任一确定的,可以明显区别的对象m汇集成一个整体,这个整体M叫作集合,m叫作M的元素。康托说的集合,就是弗雷格的外延。

有些概念的外延是空无一物的,例如,“方程:X210的实根”,就一个也没有。自相矛盾的概念外延也必然是空的,如“白色的黑狗”。有些概念的外延是由唯一的事物组成的,如“太阳”“北京”,等等,

现在,假定我们还没有数的概念。我们不知道什么是123,…,我们的目的正是从对概念外延的讨论中得出数的概念。

下面我们干脆把概念的外延叫作集合,而符合这个概念的事物就是这个集合的元素。

虽然我们不知道什么叫作数,但我们可以用一一对应的手段来检验两个集合的元素是不是一样多。如果两个集合之间可以建立一一对应,便说两个集合是数量等价的。彼此数量等价的集合,组成一个类。

空集合组成的类叫作0。具体的做法,弗雷格用概念“自己不是自己”的外延确定了空集。

有了开头的0,就好办了。

“空集合组成的类”就确定了一个非空的集合{0},与{0}数量等价的集合类叫作1

10组成一个集合{o1},与{o1}数量等价的集合组成的类叫作2

{012}数量等价的集合类叫作3

一般的,有了012,…,n,就可以规定与集合{o12,…,n}数量等价的集合类叫作n+1

这真有点像变戏法。从空无所有开始,用记号{ }表示空集,然后就有了发展基地:

{ }0{o}1

01}2{012}3

就都变出来了。

中国古代的一种说法,叫作“无极生太极,太极生两仪”,也类似于“0生出11生出2”,不过没有弗雷格这么明确罢了。

如果承认“概念的外延”属于逻辑范畴,弗雷格就算是把算术归结为逻辑了。但是,正当弗雷格的著作即将出版之际,罗素的一封信给他泼了一盆冷水.

5. 2  罗素悖论

罗素悖论的通俗化模型很多.例如:

理发师悖论  某村有一位手艺高超的理发师,他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸。那么,他给不给自己刮脸呢?

如果他不给自己刮脸,他是个不给自己刮脸的人,他应当给自己刮脸。

如果他给自己刮脸,由于他只给不给自己刮脸的人刮脸,他就不应当给自己刮脸。

机器人悖论  某工厂有很多机器人。有一个专门修理机器人的机器人,叫作XX按规定只修理那些不会修理自己的机器人。那么,X会不会修理自己呢?

图书目录悖论  图书目录本身也是书,所以它可能把自己也列入书中作为一条目录,也可能不列入自己。现在要求把那些不列入自己的目录编成一本目录,它该不该把自己列入呢?如果它不列入自己,按要求它应当列入自己。如果列入自己,按要求又不该列入自己了。

这些悖论说说有趣,好像与数学没有多大关系,但把面目一变,成了下面的罗素悖论,就大不一样了。

罗素(1872-1970)是英国著名的哲学家、数学家和社会改革家,曾获得诺贝尔文学奖。19026月,他给正在致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信,叙述了他所发现的一条悖论:

有些集合不以自己为元素,如弗雷格规定的{012}3,“3”并不是自己的元素。也可能以自己为元素,如“所有集合的集合”,自己是个集合,所以也是自己的元素。

现在考虑所有那些“不以自己为元素的集合”。这个概念的外延确定了一个集合,它是不是自己的元素呢?

如果它以自己为元素,它就不符合定义自己的概念,因而不是自己的元素。

如果它不以自己为元素呢?它又和概念相符了。它应当以自己为元素。这就陷入了两难之境。

罗素悖论的特点是只用到“集合”“元素”“属于”这些最基本的概念。引进集合的原则正符合弗雷格的概念外延的方法。实质上也就是康托所主张的用描述集合元素性质的方法来定义集合。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾,这就表明在集合论中存在着大漏洞。把集合论作为算术的基础,整个数学的基础,这一想法遭到严重的打击。

弗雷格迅速地给罗素回复了信。他说:“哎呀!算术动摇了。”他在即将出版的《算术基础》中写了一个后记,说:“在工作结束之后而发现那大厦的基础已经动摇,对于一个科学工作者来说,没有比这更不幸的了。”

罗素悖论给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼了一盆冷水.一向认为推理严密、结论永远正确的数学,竟在自己最基础的部分推出了矛盾!而推出矛盾的推理方法如此简单明了,正是数学家惯用的方法,数学方法的可靠性又何从说起呢?这就是所谓第三次数学危机。

5. 3  集合的层次理论

罗素悖论出现之后,数学家们觉得,再像康托那样直观地说明什么是集合不行了,像弗雷格那样用概念的外延来定义集合也不行了,但是,又怎么引入集合而又去掉悖论呢?

罗素提出了层次理论。他认为集合也好,概念也好,都应当是分层次地引入:

最基本的一层是第0层。第0层的东西都是个体,不是集合。

以第0层的个体为元素的集合是第1层集合;

2层集合的元素,只能是第0层和第1层的;

3层集合的元素,只能是第012层的;

……

n1层集合的元素,只能是第01,…,n层的。

定义集合的时候,必须说明层次。这样,罗素悖论便不存在了,因为悖论中“所有不以自己为元素的集合构成的集合”这个定义,没有说明是哪一层的,违反了规则。

相应的,罗素把逻辑概念、谓词、命题都分了层次和类型。

用这种办法,罗素与怀德海合作写了一本巨著《数学原理》,把算术归结到逻辑。

但是,罗素的理论太复杂,太庞大了。

数学家本来希望数学建立在简明可靠的牢固基础之上,现在,搞出了这么复杂的基础,有什么意思呢?

5. 4  集合论的公理化

数学家希望用比较简单的方法解决罗素悖论,不倾向于接受罗素庞大的设计。

为什么会出现罗素悖论呢?大家都觉得是因为集合概念太广泛,太松,太不严密了,按康托和弗雷格的想法,每个条件就可以确定一个集合,亦即每一个概念的外延可以确定一个集合,这叫作集合的概括原则,也叫无限抽象原则。大家认为,罗素的悖论,就是不加限制地使用无限抽象原则的结果。

怎样才能把这个原则限制一下,使我们可以用它定义出数学中有用的集合,而不至于出现悖论呢?

先想出了一套办法的是策墨罗。他提出了一个“有限抽象原则”,这个原则是说:如果有了一个集合,又给定一个条件,那么这个集合中所有满足那个条件的元素可以构成一个集合。这个原则其实是说,谈概念的外延要事先划定范围。对于数学家来说,这个原则基本上够用了。因为数学家用的集合——某些点的集合,某些图形的集合,某些公式的集合,确实是划了范围的。

为了保证集合和集合可以作运算(如:两个集合合起来成为一个集合),保证无穷集存在,保证原来康托素朴集合论中的一些推理通行无阻,策墨罗还提出了另几条公理。策墨罗的公理系统后来经过弗兰克、斯柯伦的补充修改,更为合理与完善,叫作ZFS公理系统(即Zermelo-Fraenkel-Skolem系统)。这就是现代数学中用得最广泛的集合论公理系统。

在公理化了的集合论中,有两个不加定义的基本概念,一个是“集合”,一个是“∈”(读作属于)。集合用小写拉丁字母表示。所谓公理,就是规定了一些有关“∈”和字母的组合使用方法。这些方法我们直观上可以认为它有某种意义,但它们的使用规则却与我们的理解无关。

这样,确实消除了罗素悖论。

但是,ZFS公理系统所描述的集合,是不是与我们所想象的集合完全一致呢?

在描述空间性质的几何学里,我们发现了几种不一致的几何公理系统。在描述数量性质的集合论里,会不会有本质不同的公理系统呢?

5. 5  连续统假设

康托的最突出贡献之一,是发现了无穷集之间可以比较大小。特别是具体证明了实数比自然数多。(见本书第四章)

那么,有没有这么一个集合——例如,实数集的某个子集——它的元素比实数少,但是比自然数多呢?

在多数数学家看来,答案只能有一个:有或者没有。因为自然数和实数都是十分具体的东西。它们的性质应当是确定的。这种观点叫作数学实在论。有些哲学家认为数学实在论是一种唯心主义的观点。但数学家把自己研究的对象想象成实在的东西,也许是很难避免的一种倾向。

康托猜想,在自然数集与实数集之间没有这么一个中间大小的集。这个猜想叫连续统假设。这是因为实数集被称为连续统。跨世纪的大数学家希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的著名的23个问题中,第一个问题就是连续统假设问题。

尽管这个问题至今没有彻底解决,但对它的研究已相当深入。

哥德尔证明:如果认为连续统假设成立,在ZFS公理系统中不会出现矛盾。

这么看,连续统假设也许是真的了!?

可不久,科恩(PCohen)又证明:如果认为连续统假设不成立,在ZFS公理系统中也不会出现矛盾。

这就怪了。明明应当有确切答案的问题,却是对也可以,错也可以!

这恰像几何里的平行公设那样,假设它成立可以得到欧氏几何,假设它不成立可以得到非欧几何。认为连续统假设成立,可以得到“康托集合论”。不成立,得到“非康集合论”!

由于集合论在数学中的基础性远比几何重要,数学家们不愿接受两种集合论。他们想,这主要是因为ZFS公理系统还太粗糙,没有把集合的性质充分描述出来。经过研究,又提出了“康托全域”的概念。

康托全域是指满足一定条件的集合。这些条件涉及更专门的知识,这里不说了,在康托全域中,连续统假设要么成立,要么不成立。但究竟是否成立,现在谁也不知道!

上例说明在最简单的基本概念后面,竟隐藏着巨大的困难。

5. 6  地平线仍在前方

集合论的公理化,解决了罗素悖论带来的困难,但并不意味着万事大吉。

第一个问题是:罗素悖论解决了,会不会哪一天冒出一个新的悖论出来呢?能不能证明在新建立的数学系统中永远太平无事,不出矛盾了呢?这就是所谓数学的协调性问题。这个问题,后面在介绍哥德尔定理时再详细讨论。

第二个问题是:集合论可以用公理表述,但公理系统却不止一个。在不同的公理系统之中,数学家如何选择呢?

例如,策墨罗提出一个公理,叫“任意选择公理”。这个公理是说:如果有了一些非空集合,这些集合之间没有公共元素,那就一定存在这样的集合,它与每个已给的集合有一个公共元素。或者直白地说:给一些非空集合,我们就可以从每个集合中任选一个元素作为代表。这些代表们组成一个集合。

有了这条公理,策墨罗证明了一个重要的结果:任何两个集合之间都可以比较大小。

但要不要这条公理呢?数学家之间就产生了不同意见。

赞成这个公理的数学家们认为,这个公理当然成立。既然是非空集合,从其中随便指定一个元素有什么不可以呢?

反对者则说:要指定哪个元素,就实实在在地指定出来,给出个具体规则。光空口说可以指定是不行的。

比方说,任给一个由自然数组成的集合,选个代表是容易的,选其中最小的就好了。但如果任给一个实数集合,这个代表根据什么原则产生呢?谁也提不出什么办法,只有靠任意选择公理,才说是总可以选出一个来。

要是不承认任意选择公理,数学中有些重要结果就证不出来。

要是承认任意选择公理呢?就会出现一些怪定理。例如,豪司道夫应用任意选择公理证明:可以把一个球体分成有限个部分(每一部分是由点组成的一个集),重新组成两个同样大的球体!

那么,在ZFS公理系统中,要不要添上这条选择公理呢?这就是个问题。

过去,哲学家只关心数学的出发点——公理。至于从公理出发又得到什么,那是数学家的事。现在发现了新的情况:光看公理,有时是看不出什么问题的。对哲学有着重要意义的问题,往往是在深入的数学工作之后才暴露出来。任意选择公理就是一个例子。

现在,数学家们仍在找寻更好的集合论公理系统。

第三个问题就更带有哲学味道了:如果数学从头到尾全靠公理,公理又只是约定的规则,那么,数学对象的意义又是什么呢?

长期以来,人们认为数学的出发点应当是一些大家一眼就能看明白的自明之理。由此应用演绎的推理方法,一步一步推出一眼看不出来的结论。那么,什么是自明之理呢?

原来以为,有1就有2,有2就有3,有3就有4,这是自明之理。后来,皮亚诺把这种产生自然数的方法归结为5条公理,算术理论就被形式化了。形式化之后,规则成为约定。

弗雷格和康托追求比皮亚诺公理更基本的东西,找到了集合。他们认为“一个条件确定一个集合”(也叫概括原理)是自明之理,这才是数学的基本生长点。但恰恰是在这一点上出了大问题——产生了罗素悖论。

数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究,恰像一次向远处的地平线走去的旅行,终点似乎就在前面,但走过去之后发现,它还在前方。

但旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发现了越来越广大的世界。

数学经历了三次“危机”。

第一次危机的结果,是严格的实数理论的建立。数学家回答了“什么是连续性?”这个古老的哲学问题。

第二次危机的结果,是微积分的严密基础的建立。数学家掌握了描述运动与变化的有效方法。彻底弄清了“芝诺悖论”,回答了“运动是怎么回事?”这个古老的哲学问题。

第三次数学危机,涉及“数学自身的基础是什么?”在这次“危机”产生前后,一些卓越的数学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论之中。危机的结果,产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。

矛盾是事物发展的动力,这个原理在数学发展过程中不断地得到证明。

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