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佛宿山人

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数学与哲学(四)  

2016-12-09 18:37:56|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 自然数有多少

——数学中的“实在无穷”概念

自然数有多少,这似乎是一个没有意义的问题,因为自然数是无穷的。

什么是无穷呢?无穷就是没有尽头。设想一个人从1开始数自然数,无论他的寿命有多长,工作多么勤奋,他不可能把自然数数完,理由很简单:如果他数到的最后一个数是n,那么n+1也是自然数!

既然不可能把自然数数完,我们能不能说“全体自然数”如何如何,这个问题在两千多年前就出现了,而且有两种对立的回答。

一种回答认为:“全体自然数”是存在的。因为每个自然数都是可以数到的,所以每个自然数都存在。既然每个都存在,为什么“全体”就不存在了呢?这种观点叫作“实在无穷”的观点,是柏拉图的观点。

柏拉图有一个弟子叫亚里士多德,亚里士多德从17岁开始,跟随柏拉图20年,很尊敬、爱戴老师。但在学术上却有着自己独立的见解。有一句常被引用的话,叫作“我爱我师,但我更爱真理”,就是亚里士多德说的。亚里士多德反对“实在无穷”的观点,他认为:自然数是数不完的,这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程。只有这个过程结束了,才得到自然数的全体。但这个过程永不结束,因而无法得到自然数的全体。但是,自然数可以越来越多,多得超过任何具体的数目,因而是无穷的。这无穷表现为变化发展的过程,因而叫作“潜无穷”。

在两千多年当中,多数哲学家和科学家赞同亚里士多德“潜无穷”的观点。但“实在无穷”的观点并未完全消失,有些相信“上帝”的哲学家认为,“实在无穷”肯定是有的,至于人对它不能认识,那不要紧。反正上帝能理解它。

但两千多年当中,却没有谁对实在无穷的概念作进一步具体的科学思考。

伽利略是第一个对它认真思考的科学家。

4.1 伽利略的困惑

伽利略是大家熟悉的物理学家和数学家。他在比萨斜塔上的著名实验推翻了亚里士多德“重物先落地”的主观断言。这使比萨斜塔至今成为意大利名胜古迹之一,在有没有“实在无穷”的问题上,他也反对亚里士多德的只有“潜无穷”而无实在无穷的看法。

他想,自然数的全体是存在的成一个实在的无穷。

他不像以前的哲学家那样仅限于抽象地思考。他希望具体地比较实无穷的大小。他想,有穷的数是可以比较大小的。如果实无穷之间也能比较大小,人们就可以得到更具体的关于实无穷的认识了。

他考虑两个实无穷。全体自然数

{l23,…,n,…}  (4.1)

构成实无穷。全体完全平方数

  { 1491625,…,n2}

也构成实无穷,是自然数多呢?还是完全平方数多呢?

直观上看,自然数多。在前10个自然数里,完全平方数只有l49三个;在前100个自然数里,完全平方数只有10个,占自然数的10%;在前一万个自然数里,完全平方数有100个,只占1%;在前一亿个自然数里,完全平方数更显得微不足道了,只占0.01 %,这么看,完全平方数在自然数中,有如沧海一粟,占的分量极少极少。

但从另一角度看,有一个自然数,便有一个完全平方数:

12345,…

1491625,…

把所有自然数在想象中排成一行,每个自然数肩膀上添个小小的2,便正好是全体完全平方数。难道添上这些指数(即2)就能把全体自然数变少了吗?

这样看,全体自然数又应当和全体平方数一样多!

伽利略没有解决这个矛盾。他承认,把实无穷之间的大小作比较时,遇到了无法克服的困难。他终于把这个困难留给了后人。

应当说,伽利略的确是科学战线上的勇士,他提出了前人没有提出过的比较无穷大小的问题,揭开了人类认识“无穷”这场有声有色的话剧的序幕。

4. 2  康托,闯入无穷王国的先锋

现在,我们站在前人肩膀上回过头评论,就能清楚地知道伽利略在这一困难前面受挫的关键失误。

问题是要比较无穷之间的大小,要比较,就得有个标准。什么叫作大,什么叫作小,什么叫作相等?如果连这些问题都没有明确的回答,又怎能比较出来个结果呢?

伽利略疏忽了这个要害问题。

现代数学中思考问题的基本方式之一,就是在讨论问题之前先想想有关的关键用语的明确含意——定义。有了定义,讨论就有了依据。对待这个让伽利略碰了钉子的问题,康托正是从建立明确定义入手而获得成功的。

康托(1845-1918)是近代最著名的数学家和逻辑学家之一。他所创立的集合论已被公认是现代数学的基础。他对实无穷的研究,在数学上和哲学上都有重大的影响。

所谓集合,是指把一些个体放在一起考虑时它们形成的整体。例如,教室里25个学生组成的集合,太阳系九大行星的集合。集合里的个体叫作它的元素。集合里的元素可1个,也可以有无穷多个。全体自然数的集合,就有无穷多个元素。

有了两个集合AB,如何比较其大小呢?也就是说,如何确定A中元素多还是B中元素多呢?这就需要有个标准,标准靠我们制定,但不能随心所欲地制定,要定得合理,定得符合实际,定得能自圆其说、讲得通,这样,制定标准时就必须参考我们的实际经验。

对于两个无穷集的大小比较,我们是没有经验的。但对有穷集的比较,我们知道该怎么办。屋子里有许多人,又有许多椅子。人组成一个集合,椅子组成一个集合,哪个集合元素多呢?通常的办法是数一数。

但还有一种更痛快的办法:请大家就座。一人坐一把椅子,一把椅子坐一个人,如果椅子都被坐上了人,又没有人站着,就可以肯定人和椅子一样多。

这叫作建立两个集合的一一对应,一个人对一把椅子,一把椅子对一个人。能建立一一对应,就表明两个集合一样多。

我们说了两种比较有穷集大小的办法。两种其实是一种。所谓数数,其实也是一一对应的办法,不是吗?当你数椅子的时候,指着一把椅子说1,又指着另一把椅子说2,……这样,就把椅子编了号码,也就是在椅子和一部分自然数之间建立了一个一一对应。然后又在人和一部分自然数之间建立一一对应——把人也数一数,最后,以自然数为媒介,看能不能在人与椅子之间建立一一对应。

因此,比较两个有穷集的大小,我们只有一种办法——设法建立两个集合的元素间的一一对应。能建立一一对应,就是一样多。

一一对应,是人们认识事物间数量关系的最基本的办法,也是最古老的办法。

有一个以畜牧为生的原始部落,他们选举领袖的办法不是举手或投票,而是看谁的羊群里羊多。羊最多的人就是当然的领袖。但他们数数的本领最多数到20,再多就不会数了。怎么办呢,就用一一对应的办法:从两个候选人的羊群里各牵一只羊出来,赶到另一个圈里,再各牵一只,再各牵一只,直到有一个人的羊牵光,胜负就确定了,碰巧两群羊一样多的时候,再用别的办法决定。

既然我们经验中只有一种比较多少的办法,我们只有用这种办法比较无穷集的元素多少。

也就是说,不管是有穷集或无穷集,如果能够在AB两个集合的元素之间建立起一种一一对应的关系,就应当承认AB的元素一样多。这就是康托提出的观点。也是现代数学所承认的观点。

有了这个“一样多”的定义,伽利略的问题便迎刃而解了。事实上,伽利略自己已经把自然数与完全平方数之间建立了一一对应,即我们的式(4.3)。但他没有就此作出结论。

但是,又怎么解释完全平方数仅仅是自然数的一部分这个事实呢?难道部分可以和整体一样多吗?

我们既然肯定了“一样多”的唯一意义是“可以一一对应”,就不能因出现了某些不符合习惯思维定式的现象而动摇。确实,对有穷集来说,整体不会和部分一样多。但这是无穷集,难道无穷集有一些不同于有穷集的性质不是合理的吗?自然数可以和它的部分一样多,这个现象不应当作为否定“可以一一对应就是一样多”的理由。恰恰相反,应当说是由于我们采用了这个“一样多”的合理定义,从而揭示出无穷集不同于有穷集的特征:它可以和自己的一部分一样多。

确实,这已经被数学家们承认为无穷集的一个定义。什么是无穷集呢?答:可以和自己的某一部分之间建立一一对应的集合叫无穷集,这种定义跳出了“无穷就是取之不竭,就是非有穷,就是没完没了……”这种同语反复式说明的圈子。

康托关于无穷集的研究成果,一开始便遭到许多哲学家和数学家的激烈反对。其中反对得最激烈的便是他的老师,当时德国的数学界权威人士之一的克朗南格。克朗南格在数学上是有很大贡献的,但他以显赫的地位来压制独创见解的这件事受到后人一致的批评。

由于克朗南格的反对,康托希望成为柏林大学教授的愿望始终未能实现。但在他有生之年,康托看到了自己的研究成果得到国际数学界的广泛承认。绝大部分数学家接受了康托关于实在无穷的观点。当时最杰出的数学家希尔伯特给康托极大的支持,他宣称“谁也不能把我们从康托创建的乐园中赶出去”。

希尔伯特曾在通俗演讲中用生动的比喻向听众解说无穷集的性质,宣传康托的观点。下面就是他所用的比喻。

4.3 希尔伯特的“无穷旅店”

希尔伯特假想有这么一家旅馆,它有无穷多个房间,每个自然数都是某个房间的号码,一位旅客来要个房间,但是不巧,所有的房间都有人,旅馆已经客满。

按常理,这位客人只有去找别的旅馆去了。但无穷旅馆的主人却自有办法。他把房间重新安排一下:1号房的客人到2号,2号房的客人到3号,3号房的客人到4号,…,所有的客人都安排了新的床位,空出了一号房间给新来的客人。所有的客人都满意了。

严重的情况发生了。来了一个“无穷旅游团”,它们的成员号码用完了所有的自然数。刚才的应急措施现在失效了。怎么办呢?

旅馆主人又有了新招,他请1号房的客人到2号,2号到4号,3号到6号,…,所有的奇数号码房间都空出来了,正好安排给这个无穷旅游团的成员们住。

如果到了旅游旺季,来了无穷多个无穷旅游团,怎么办呢?旅馆主人略加思索,又想出了妙计:原来的客人仍然统统安排到2号、4号、6号…,这些偶数号码房间去,剩下的奇数号码房间这样安排:

1旅游团的成员住这些房间,号码是

3927 81,…,3n …  (4. 4)

2旅游团住的房间号码是

525125625,…,5n…    (4.5)

然后是

749343,…,7n

111211331,…,11n…  (4.6)

一般规律是:自小到大把奇素数排成一列

3571113171923,… (4. 7)

设第m个奇素数是Pm,那么,第m旅游团的第n号成员的房间号码就是Pmn这样,无穷多个无穷旅游团的成员都有了自己的房间。旅馆主人这一次还留下了无穷个空床位,它们的号码是那些不能表示为奇素数方幂的正奇数,如:

1152135456375,… (4.8)

这个虚构的故事表明,无穷集合的性质和有穷集合是那样的不同,我们在对无穷进行研究时,思想上应当准备遇到一些出乎意料的新的现象。

4.4  所有的无穷都一样吗

自然数有无穷多个。如果所有的无穷集合元素都一样多,那无穷就成为一个贫乏的领域了。康托就是这样想的。他希望找出比自然数集合元素更多的集合。

在中学生已经熟悉的数轴上,整数是稀稀拉拉的,有理数却是密密麻麻的。直观地看,有理数似乎应当比自然数多,但仔细研究便发现,有理数也和自然数一样多。图3清楚地表明可以把全体有理数像自然数那样排成一列纵队,当然也就可以和自然数一一对应了。

 

有理数是一次整系数方程的根,例如,方程

5x30  (4.9)

的根是35,一般的整系数方程的根就不一定是有理数了。例如,方程

X2 20

的根±就是无理数。凡是整系数方程的根都叫作代数数。代数数的范围比有理数广多了。但是,康托证明:代数数不过和自然数一样多。

4表明,按照一一对应的原则:不同长短的两条线段上面的点一样多,半圆周上的点和直径上的点一样多,半圆周上的点又和无穷直线上的点一样多,因此,无论多么短的一条线段,只要长度不是0,它上面的点就和无穷直线上的点一样多!

康托在1874年发表的论文,证明了一条线段上的点要比自然数多,这是他最重要的贡献。这个结论是两千年来经常谈到无穷的思想家们想都没有想到的,而康托却给这个事实以简明清晰的论证。

他用的是反证法。如果能把线段AB上的点编上号——即和自然数一一对应,马上可以导出矛盾:把AB看成一把尺,长度为1,则AB上的每个点都可以用一个01之间的实数x表示,而x可以写成无穷小数

X0x1x2xn

假如这些x都被编了号:

就马上可以找这么一个Y出来,

Y0Y1Y2 …Yn

这些Y1Y2 …是这么定的:让Y1X1的第1位小数不同,Y2X2的第2位不同,Y3X3的第3位不同,…,这样,Y就和X1),X1),X1Xn…中的每个实数都不同,这与把01之间的全体实数都编了号的假定矛盾。

这种证法是富有哲学意味的,它被称为“康托对角线法”。后来,人们用这个方法的思想证明了许多有趣的定理。

另一种证法更富有几何直观性。

仍是反证法:假如线段AB上的所有的点都被编了号,设AB长度为L,从AB上挖掉长为L/4的一段,其中包括1号点,再挖掉长为L/8的包含了2号点的那一段,然后挖掉长为L/16的包含了3号点的一段,这样把所有的点都挖去之后,被挖掉线段的总长不超过

L/4L/8L/16+…=L/2

那么,剩下的一半线段是由哪些点构成的呢?不是已挖光了吗?

本来,康托是想证明实数和自然数一样多的。但事与愿违,三年的艰辛探索带来的是上述相反的结论。这表明,虽然概念是人创造出来的,但它一旦形成,便有着不以人的意志为转移的客观规律。这颇像小说家笔下的人物。鲁迅说过,当写小说的时候,写着写着,人物就活起来了!

那么,有没有比线段上的点的集合含有更多元素的集合呢?开始,康托猜想平面上的点应当和线段上的点一样多。当时一些有名望的数学家都这么想。经过三年思考之后,康托又一次意外地发现:线段上的点和全空间的点一样多!证明十分简单:在笛卡儿坐标系中,空间的一个点可以用坐标(xyz)表示。把XYZ写成无穷小数:

Xl x1x2xk

Ymy1y2yk

Znz1z2zk

马上可以把(xyz)变成一个数

Na1a2ak

其中,小数部分是从式(4.15)中的三列小数作“多队合一队”的“体操队形变换”得到的:

0.a1a2a3

0.x1y1z1x2y2z3

而取NP1lP2mP3n

这里,P123P257P3 - 1113,分别视lmn为负数或非负数而定。

这样,整个空间的点可以和一部分实数建立一一对应,而全体实数又可以和线段上的点一一对应。结果,空间虽大,包含的点不过和线段上的点一样多罢了。

又过了几年,康托终于找到了比实数集合更大的集合。他实际上证明了:无穷是无穷的。有一个无穷,就有一个更大的无穷。具体地说:“任一个无穷集M,它的所有子集的数目总比它的元素多”。

所谓M的子集,是由M的若干元素构成的集合。例如,三元素集(abc)有8个子集:

{},{a},{b},{c

ab},{ac},{bc},{abc

第一个是空集,最后一个是M自身。

一般地说,n元素集共有2n个子集。对有穷集,子集确比元素多:2n>n

对无穷集M,怎么知道子集比元素多呢?

还是用反证法:假设在M的子集与M的元素之间建立了一个—对应,M的每个子集都有了一个“号码”aaM的元素,于是M的子集可以写成M。的样子。

也许a正好是M的元素,这时说a是好的。

也许不是,这时说a是坏的。

现在,所有的坏元素也组成M的一个子集,比方说,是Mβ

那么,β是好的,还是坏的呢?

如果β是好的,按“好”的定义,β是Mβ的元素;又按Mβ的定义,β应当是坏的。

如果β是坏的,按Mβ的定义,β是Mβ的元素;又按“好”的定义,β是好的。

这陷入了矛盾的境地。这表明M的子集与元素之间不可能有一一对应。

这样的证明实质上已不涉及数量关系,它本质上是哲学的和逻辑学的,怪不得康托晚年要求普鲁士教育部把他的数学教授的职位改为哲学教授。

康托把集合元素的数量叫作集合的基数或集合的势。有穷集的基数是自然数。无穷集的基数叫超限数。

有穷基数——自然数的全体构成了最小的无穷集。这个无穷叫“可数”的无穷。康托给它一个记号,叫???0(读作阿列夫零)。

全体实数集的基数叫作“连续统”的无穷。记号是???1?:前面已经证明了???1>???0

4. 5  自然数究竟有多少

现在,可以回答开始提出的问题了:自然数有多少呢?答曰有,有??0个。

这算不算一个回答呢?

如果你要弄清什么才算是合理的回答,不妨想想类似的关于有穷的问题:你的一只手有多少指头?答曰:5个。这算不算一个合理的回答呢,当然算。

为什么呢?因为5是一个熟悉的符号吗?不仅如此,因为我们知道5这个数目的意义。什么是5的意义呢?这不能仅仅从5本身说明。有些国家的文字中,5就是手,这就无法用5回答刚才的问题--答案成了:一只手上的手指有手上手指那么多。我们对5的了解,在于5在数系中的地位是明确的,5在算术运算中的作用是清楚的。54大,比6小,53852等于10,等等。了解5,不是指认识了这个符号,而在于掌握了某些关系,某种结构。

同样地,我们说自然数有??0个,并不是因为康托建议用??0符号,而在于弄清楚了??0在数系中的地位。??0比每个自然数都大,比每个别的无穷基数都小,它是最小的无穷。??0+1=??02??0??0??0??0??0,等等。

我们还知道2??0??1>??0.这是因为自然数的子集和实数一样多。n元素有穷集的个数是2n,所以自然可以说??0个元素的集其子集的个数是2 ??0。事实上,自然数排成一行以后,把属于某子集P的数换成1,不属于P的换成0,便得到一个由10组成的列。加上一个小数点,便成为一个用二进位表示的实数。这就是2??0??1

既然我们可以对无穷基数作比较,作运算,知道它们是什么意思,那么,我们说“自然数有??0”,也就是合理的回答了。

对无穷的研究,不仅是空议论,它使我们了解到另外一些更具体的东西。例如:一个班里有50名学生。只有35名男生,根据50>35,就知道必有女生,类似地,我们上面知道了全体实数有??0个,而全体代数数和自然数一样多,即??0个。根据??1>??0,就知道一定有非代数数——超越数。但在康托之前,数学家为了弄清有没有超越数,可花了不少气力呢。

对无穷集合的研究,又一次证明了数学思维的力量,无穷是怎么回事,是哲学家们两千年间反复谈论而始终说不清的问题。一些卓越的哲学家如亚里士多德、康德、莱布尼兹都坚持没有实在的无穷。实际上是认为人不可能认识实无穷,像认识自然数一样。但数学思维终于进人了无穷的王国。

哲学和数学都讲究把握概念。但哲学家对概念的理解主要是力图讲明白它的字义,说明概念的形成过程。数学家则更关心概念在推理中服从的规则。因此,数学方法的基本点是概念的明晰性。

对无穷认识的突破,不是因为使用了复杂高深公式的推演与计算,而是因为建立了“集合”概念和集合元素“一样多”的概念,这些概念在日常生活中早有基础,康托能做的,两千年前的哲学家与数学家照理也可以做。但为什么直到19世纪才出现康托呢?这当然是因为这时数学家进一步认识到了概念的明晰对推理的作用,知道了什么叫严格的推理。这与非欧几何的出现大有关系。

但是,正是在数学家们为进入无穷王国而欢唱凯歌之际,作为数学基础的集合理论暴露出深刻的矛盾而陷人危机。

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