我们生活着的这个世界，在一刻也不停地变化着。古希腊哲学家当中，赫拉克利特对这一点强调得最厉害，他说，人不能两次踏人同一河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
赫拉克利特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中。但严格讲起来，概念上却是不清楚的。同一条河流是什么意思呢？昨天的黄河和今天的黄河是不是同一条河流呢？如果是同一条河流，赫拉克利特那句话就错了。如果不是同一条河流，那黄河就成了无穷多条河流了。因为它每个瞬间都与前不同。同样的道理，赫拉克利特也不是一个人，而是无穷多个不同的人了。
正是抓住了他这个概念不清的弱点，有个人写了剧本讽刺他。说是一个人欠债不还，说是我已不是原来借钱的那个人了，债主大怒打了他。到了法庭上，债主不承认打了人，说刚才打人的我，已不是现在的我了。
当时相反的哲学观点的宣扬者是巴门尼德。他主张存在是静止的，不变的，永恒的。变化与运动只是幻觉。巴门尼德的得意门生芝诺，为了论证运动只是幻象，还提出了几个诡论，竭力说明运动必然引起矛盾，因而运动是不可能的．在芝诺的这几条诡辩中，最著名的是所谓“飞矢不动”。
飞快地射出的箭怎么可能不动呢？芝诺自有他的歪理：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，也就是说，每一瞬间都是静止的．既然每一瞬间都是静止的，又怎么可能动呢？
哲学家早就分析批判过“飞矢不动”的诡论。但从数学上看问题，可以最清楚地抓住芝诺逻辑上的漏洞。
数学是讲究概念严密的。芝诺要说的是动与不动的问题，就先得讲好什么叫动，什么叫没有动。
什么叫动呢？一个物体，时刻t1时在甲处，在另一个时刻t2时在与甲不同的乙处，我们就说它在时刻t1到t2之间动了。如果对于任一个在t1与t2之间的时刻t，它都在甲处，就说它在这两个时刻t1与t2之间这段时间内没有动。
这么看，所谓动或不动，是涉及两个时刻的概念。在“一瞬间”，也就是在一个时刻，概念失去了意义，“在每一瞬间都是静止的”，这个说法在逻辑上没有任何意义，因为在任一时刻物体只占有一个确定的位置。在黑夜里闪电照耀下，我们看到的是一个静止的画面，因为闪电一瞬间就过去了。这个画面决不能作为一切静止了的论据，要问动没有动，必须用另一瞬间的画面作比较！
从这两个例子看出，古代哲学家对于如何从逻辑上严格把握事物的运动与变化和相对地静止与稳定的统一，是不清楚的。或者否定了运动的可能，或者否认变化了的事物是同一事物。直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念，才找到了精确地描述运动与变化的工具。
在数学中，函数概念是描述运动与变化的重要工具。
用电影为例。一部电影由许多画面组成。这些画面按一定顺序排列在电影拷贝的长长的胶片上，于是可以对画面编号：1，2，3，…，我们得到了号码与画面的一个对应。指定一个号码，一定可以找到一个相应的画面，而且一个号码只有一幅画面和它对应。不同的画面对应于不同的号码。反过来，指定一个画面，则可能有不同的号码。也就是说：不同的号码可能对应于相同的画面。例如：银幕上几秒钟的静止意味着有数十个号码对应于相同的画面，回忆往事的镜头也使不同的号码对应于相同的画面。这样的对应，在数学上叫作从号码到画面的映射，也可以说是以号码为自变元（或主变元），以画面为因变元（或从变元）的一个映射或函数。
电影是由一系列离散的画面组成的，但实在的运动与变化的事物却是由无穷多的连续地改变着的状态而组成的。这时，时刻代替了号码，事物的状态代替了画面，号码是整数，而时刻却是连续地增长着的实数——时间。和刚才相同的是：指定一个时刻，所考察的事物只有一个确定的状态。无论是赫拉克利特的河流还是芝诺的飞矢，在指定的某一时刻只能以确定的状态出现。在这个意义上，所谓事物，就是以时间为主变元，以状态为从变元的一个函数．对于在时间长河中某时刻产生而又在另一时刻消亡的事物，主变元可以在两个时刻之间任意取值。对于不生不灭的永恒存在的事物（假如有的话），主变元可取任意实数。
这样，事物就是与时刻对应的无穷多状态的总和，更严格地说，事物是时刻到状态的映射，而时刻变化的范围（时间区间）的大小就是事物的寿命。
既然事物在不同时刻可以有不同的状态，我们又怎么知道这不同的状态是同一个事物的状态而不是不同的事物呢？这就要用到映射的连续性概念，或连续函数的概念了。事物在不同时刻虽有不同的状态，但当两时刻相距越来越近的时候，对应的状态之间的差别也越来越小，这叫作连续性。数学上映射的连续性概念正是这样的：当主变元改变很小时，从变元的改变也很小，这样的映射或函数叫作连续的。映射或函数可以不连续，但描述一件客观存在的事物的映射或函数一般总是连续的，如果不连续了，我们就认为它已消亡，被另一个新出现的事物代替了。
人的一生，从小到老，变化是很大的，但这变化是连续的，在短时内，例如几分钟觉察到这种变化。这就是朋友之间彼此可以认识的原因。而人的不连续时刻，常常是悲惨的意外事故。
用时刻到状态的连续映射来刻画事物，既能反映事物在不停地运动与变化这一事实，又能合理地说明事物是自身而不是别的什么这一稳定特点。一方面驳斥了芝诺把事物在一时刻有确定状态说成是不能变化的诡辩，另一方面又纠正了赫拉克利特把一件事物在不同时刻的状态说成是不同事物的概念模糊。
对于事物的运动与变化，哲学有多种说法：“运动就是矛盾”“在每一瞬间物体既在一个地方又不在这个地方”“事物在一个时刻是自身又不是自身”。这些说法确实具有哲理的启发性与艺术的感染力，但却不具有科学概念应有的逻辑上的严格性。很难理解一个物体在同一瞬间既在一个地方又不在这个地方的准确意义，事实上，在同一瞬间，即在一个确定的时刻，物体在什么地方就在什么地方。用高速摄影机为飞行中的子弹拍照，可以作为这一数学观点的佐证。
数学概念不像哲学术语那么灵活。它一旦形成，便可以作为继续前进的逻辑基础，说运动是矛盾，可以给人以某种启迪，但人们很难在此基础上做更进一步的研究．因为“矛盾”是一个未定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运动的特殊性。当各门具体科学形成之后，哲学已不再承担对种种特殊性的研究了。而数学中用映射或函数描述运动，却能勾画出运动的特殊性，能以此为坚实的基础对运动的性质作进一步的探索。特别是对运动物体的瞬时状态作触及问题核心的研究。
运动着的物体有快有慢，描述快慢程度的数量指标叫速度。物体要走过一段距离，必然要耗费一些时间，距离与时间之比，就是速度。悟空一个跟斗十万八千里，速度是多大呢？不知道。因为没告诉我了“一个跟斗”要用多少时间。如果它这个跟斗用的时间和戏台上的武生翻跟斗差不多，只有一秒来钟，那它够快的了。要是一个跟斗打了一天还不到二百公里，就比飞机慢得多。
这是说，考虑速度问题，离不开时间。不但运动有速度，事物的变化也可以有快慢之分，都要用时间来衡量。
汽车1小时行驶60公里，或说汽车的速度是60公里／小时，这是个大致的说法。因为汽车在这一段时间内时快时慢。启动时，停车时，过人行横道时，就要慢些，其他时间要快些，路面好的时候就更快些。因此，用物体走过的距离除以所用的时间，得到的是平均速度，不是物体的真正速度。
那么，我们测量一下物体在几秒钟之内走的距离，用这几秒的时间来除，得到的速度总该是物体的真正速度了吧？还不行。这是这几秒之内的平均速度。子弹从射出枪口到击中靶心，只有几分之一秒的时间，这之内，速度就有很大变化，出枪口时比击中靶心时就明显地快些。
我们可以把时间间隔再取得小一点，看看物体在0．1秒，0．01秒内走了多远，以了解物体的真实速度。但无论怎么小的时间间隔，总不是一瞬间，不是一个时刻，而是两个时刻之间的一段时间，求出来的总是这一段时间内的平均速度。而我们希望知道的真正速度，是物体在某一时刻的速度，是所谓瞬时速度。
也许你会认为，何必求瞬时速度呢？重要的是平均速度。汽车从天津跑到北京要多长时间，只要了解一下它每小时能跑多少公里这个平均速度就可以了。
这不全面。有时还是要了解瞬时速度的。汽车过桥时车速超过了规定的速度限制，警察要罚司机的款，这时警察的根据就是车过桥时速度，十分钟之前或之后，他是不管的。火箭要把卫星送上天，速度超过8公里／秒，说的是瞬时速度，而不是从发射起计算到与卫星脱离的平均速度，炮弹打在钢板上，能不能打穿，也要看这一刹那间的瞬时速度，自由落体的瞬时速度时刻在变化，它描述出落体的动能增加或减少的状况，总之，从物理直观上看，瞬时速度是有意义的。从哲学要求上看，希望知道瞬时速度，希望了解物体在一瞬间究竟处于什么状态，这也是合理的。
但是，在数学上却遇到了逻辑的困难。按速度的本来意义，是一段时间去除物体在这段时间内走过的距离所得的商，一个时刻，时间是0，物体走过的距离也是0，时间和距离都没有了，速度又何从谈起？0除以0，在数学上有什么意义？
在物理上看来有意义的东西，在数学上却无法指出它的意义是什么，这对数学家是一个严重的挑战，随着机器工业的发展，科学技术日益迫切地要求数学家起而应战，以便更精确地认识运动与变化的事物。生产力的发展使这一问题不仅有哲学意义，也有了社会价值。于是17世纪的一批数学家投入了这一工作，而总其大成者是微积分学的创始人牛顿与莱布尼兹。
牛顿的工作正是直接从瞬时速度这一概念的数学表达方式入手的。
为了求运动着的物体在某一时刻t0的瞬时速度，先要知道从数学上看什么叫瞬时速度。因此，牛顿面临的是两个任务：第一，定义出瞬时速度的概念；第二，给出具体计算瞬时速度的方法。
如果眼睛只盯着t0这一个时刻，那是毫无法子可想的。时间固定了，物体的位置也固定了。想知道速度，得让物体动一动。也就是要让时间变一变。让时间从t0变到t1，这段时间记作△t=t1 －t0，而这段时间物体走过的距离记作△s。比值△s/△t，当然是在t0一t1这段时间内的平均速度。
牛顿合理地设想：△t越小，这个平均速度就应当越接近物体在时刻t0时的瞬时速度。当△t越来越小，当然△s也越来越小的时候，最后成为无穷小（微分）、就要成为0而还不是0的时候，比值△s／△t作为两个无穷小（微分）之比，就是所要的瞬时速度。
这样，他给出了瞬时速度的定义，又给出了有效的计算方法。
例如，自由落体走过的距离与时间的平方成正比，即s(t) =at2，则
△s =at12－ at02 = a[(t0 +△t)2 －t12]
=a(2t0△t +△t2 )
因此
△s／△t＝a（2t0＋△t2）/△t＝2at0＋△t
当△t变成小得不能再小的微分时式(3.2)右端可以认为就是2at0，这就是我们要求的在t0时刻的瞬时速度。它就是两个微分之比。
这一新生的有力的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。但由于它逻辑上的漏洞，招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
对新生的微积分攻击得最厉害的是英国的主观唯心主义经验论哲学家贝克莱主教。
贝克莱的基本观点是“存在即被感知”，即认为一切事物不过是人的感觉的综合。而当世界上没有人时怎么办呢？他说世界是上帝的感知。他的哲学目的是论证上帝的存在。
贝克莱的哲学观点由于荒谬绝伦而受到当时思想界的严厉批判，8世纪的法国唯物主义哲学家说：这种观点如此荒谬，在逻辑上又难于驳斥，可说是人类智慧的耻辱！
就是这位贝克莱主教，猛烈地攻击牛顿的微分概念。他问道：无穷小量究竟是不是0？如果是0，式(3.2)的左端当△t和△s变成无穷小之后就没有意义了。如果不是0，式(3.2)的右端的△t就不能任意地去掉。在从式(3.2)的左端推出右端时，假定△t≠0而作除法，所以式(3.2)的成立是以△t≠O为前提的，那么，为什么又可以让△t＝0而求得瞬时速度2at0呢？因此，这一套运算方法就如同从5．0＝3．0出发两端同用0除得到5＝3一样的荒谬，
贝克莱还讽刺挖苦道：既然△s和△t变成“无穷小”了，而无穷小是既不是0又不是非0的数量，那它一定是量的鬼魂了，相信量的鬼魂的数学家们，又有什么理由不相信上帝的存在呢？
应当承认，贝克莱的攻击还是切中要害的。牛顿和当时的数学家确实在逻辑上无法严格解释这个新生的强有力的方法。数学家们相信它，只因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的。
把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“距离微分”与“时间微分”之比，是牛顿的一个含糊不清的表达。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”(如(3.2)中的2at0）不是“最终的量”的比，而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含意，因而牛顿和其后一百年间的数学家，都不能有力地回答贝克莱的这种攻击。
这就是数学史上所谓第二次数学危机。
直到19世纪，在康托、戴德金、柯西等一批数学家努力之下，微积分才有了牢不可破的逻辑基础。
问题的解决说起来意外地平凡：在(3.2)中，设△t≠0，总可以求出右端的2at0 +△t，这是在△t时间内的平均速度。然后，把瞬时速度定义为平均速度当△t趋于0时的极限，即
瞬时速度＝lim△s/△t
就可以了。
但要把这一平凡的想法严格化，却还要一番惨淡经营．首先要按照前面所说的，用一个函数δ＝F（t）来描述运动过程——F(t)表示到时刻t物体的位置——它可以用物体走过的距离来刻画。从t0到t1＝t0十△t这段时间，物体走过的路程可以表示成F（t1）－ F(t0) ＝F(t0+△t)－F(t0)，它就是(3.3)中的△s，叫作函数F(t)在t0处的差分，而△t＝t1－t0叫作时间的差分。两个差分相比，就是(3.3)中的△s/△t，叫作函数的差商。在差分趋于0的过程中，差商的极限叫作微商，或函数F(t)在t0处的导数。它就是瞬时速度。如果F不是路程而是刻画物体其他性质的状态参量，导数就是那种状态的变化率。
柯西建立了一套严格的ε语言来说明什么叫作变量的极限．粗略而直观地说，如果变量到后来可以充分接近某个常量，就说这个常量是变量的极限。而变量的变化范围可以是全体实数，变量的极限也不限于已知的有理数或用根式表达的数，而是一般的实数，这就要求建立实数理论。实数理论的建立和微积分基础的巩固，使两次数学危机都得到了圆满的克服。
把瞬时速度定义为平均速度当时间趋于0时的极限，这样就在瞬时速度与平均速度之间建立了联系。我们就可以根据瞬时速度来估计物体在短小时间内的平均速度。
从哲学上，这最终地驳斥了芝诺“飞矢不动”的诡论。在一瞬间，尽管物体占据了一个确定的位置，但不等于说静止了。因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来！具体速度都知道了，还能说不动吗？
牛顿用两个无穷小的比来解释瞬时速度的思想，由于缺乏逻辑严密性而被极限理论所代替，但是，“无穷小”这一思想并未被人们所放弃。
到了20世纪，数理逻辑专家鲁滨逊(Abraham Robinson)建立了“非标准分析”。在非标准分析中，无穷小，无穷大，都作为实数的扩充而出现。这可以看成牛顿的无穷小在新的严格基础上的再生。两个无穷之比，已经是合理的了。
通常的微积分当中，仍在用“无穷小”这个字眼，但所描述的已不是像牛顿所想的变量在变成0之前的状态，而是一个变化过程。例如，数列：
1，1／2，1／3，1／4，…，1／n，…
就叫作无穷小列．它是无穷多的一串数，不是一个数。
柯西的极限理论，是学生学习微积分的高门槛。这是因为他的ε语言太繁琐了。也许这是一个历史错误。他完全有可能把极限理论表达得更直观，更平凡而同样严格。
极限理论的哲学困难在于无穷，但当人们承认了自然数时，无穷的难关实际上已被突破。如果在这一突破上建立极限理论，就容易得多。
自然数列
1，2，3，4，…，n，…
有两个特点，其一是越来越大而不减小；其二是无界——找不到一个数比所有的自然数都大。这两个特点是很容易被抓住的，具有这两个特点的数列不妨叫作“无界不减列”。
具体地说，数列
D1，D2，…，Dn，…
叫作无界不减的，如果
(1)Dn≤Dn＋1
(2)没有一个比所有Dn都大的数，
现在，定义无穷小列很容易了：
无穷小列的定义 如果有无界不减列{Dn}满足
|an|≤1/Dn
则称{an}是无穷小列，
进一步便有了：
数列极限的定义 如果{an}是无穷小列，而
cn=C＋an
则称数列{cn}以C为极限。
这样，我们便把历史上一百多牛弄小清的“无穷小”与“极限”两个概念，用最平凡的方式表达清楚了。
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