据说除了基督教的圣经之外，印得最多，流传最广的书，要算公元前300年左右，希腊数学家欧几里得写的《原本》了。
自从希腊人知道了√2不能用分数表示之后，他们对“数”的热情转移到“形”上，使几何学得到辉煌的发展．欧几里得的《原本》，集当时全部几何知识之大成并加以系统化，把希腊几何提高到一个新水平，在两千年之久的时期内，《原本》既是几何教科书，又被当成严密科学思维的典范，它对西方数学与哲学的思想，都有重要的影响．
欧几里得的《原本》，是一个精致地借助演绎推理展开的系统，它从定义、公设、公理出发，一步一步地推证出了大量的，很不显然的、丰富多彩的几何定理。
他尽力对每一个几何术语加以定义。例如，他的最初的几条定义是：（按《原本》编号）
（1）点是没有部分的那种东西。
（2）线是没有宽度的长度；
（3）直线是同其上各点看齐的线；
（4）图形是被一些边界所包含的那种东西。
他除了定义之外，又选择了一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。他把这些基本命题叫公理或公设。公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”“全量大于部分”等。而公设则是专门为了几何对象而提出的。他有五条公理和五条公设，这些公设是：
（1）从一点到另一点可作一条直线；
（2）直线可以无限延长；
（3）已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；
（4）所有的直角彼此相等；
（5）若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后必相交于该侧。
这里应当说明一下，按现代数学的观点，公理与公设是一回事，没有必要加以区分。
欧几里得从公理、公设和定义出发，导出了数百条几何定理。这一杰作展示了逻辑的力量，显示出人类理性的创造能力。
不过，到19世纪，数学家们的严格性标准大大提高之后，发现《原本》并非像原来人们所认为的那样完美无瑕，它有两方面的逻辑漏洞：
一方面，他的证明中用到了公理、公设和定义没有包括的一些命题。这些命题要补充到公理当中去。
另一方面，他的定义有问题。为了定义点，他用到了“部分”这个术语；为了定义线，他用到了“宽度”与“长度”；为了定义直线，他用到了“看齐”；为了定义图肜，他又用到了“边界”。这样用不加定义的术语来说明要定义的术语，结果等于没有定义。这样的定义是不能在推理中使用的，因为在逻辑上我们不知道如何使用“部分”“长度”“宽度”“看齐”这些术语。
这些漏洞已经被19世纪的数学家们补上了，这里暂不叙述补漏洞的详情。我们转向一些哲学家关心的事。
欧几里得的《原本》向哲学家们建议了一种认识真理的方法：从少数几条明白清楚的前提出发，用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理，则结论也是真理。这一思想对哲学家们产生重大影响。后来的许多哲学家，特别是唯理论派哲学家，力图用欧几里得的方式写出自己的著作，阐述自己的学说与观点。
但是，一个更基本的问题出现了。怎么知道欧几里得的公设是真的呢？
两千年中，哲学家们几乎一致认为，欧几里得的公设就是真理，认为这些公设是可以确定地明晰地知道的东西，是绝对普遍而严格的真理。而且，多数哲学家认为这些公设既不是来自经验，也不是来自逻辑分析，而是来自人类理性的先天洞察能力。
确实，柏拉图早就宣称：我们用理性的眼睛看到“形式”的永恒王国：康德认为，心智认知几何学时是在把握它自己的感观的先天结构。就连一些唯物主义的哲学家，在涉及几何学时，也不否认欧几里得几何的真理性。
那么，说这些公设是真的，是什么意思呢？比方说，说“两点可以确定一直线”，这里直线是什么意思呢？如果“直”线的意思不清楚，说两点可以确定一直线”是“真”的又有什么意义呢？
哲学家们当然认为，“直”就是人们通常理解的直。
什么又是通常理解的直呢？我们有好几种标准：
木工检验一条线直不直，是沿着它看。看，当然依赖于光。这就是说：光走的是直线。
建筑工人确定地基时要拉线。这是认为，拉紧了的线是直的。
线是两点间最短的路线，是唯一的。
过线的一端以另一端为心画圆。如果线是直的，圆周长应当是线长的2π倍。
还可以找到别的标准。
如果这些标准互相间矛盾了怎么办呢？大家认为，它们不会矛盾。确实，经验告诉人们这几条标准是一致的。
于是，人们没有理由怀疑欧几里得几何的真理性。欧几里得几何被当作人类可以认识绝对真理的范例。至于逻辑漏洞，那是技术上的细节，补上就好了。
既然把欧几里得的公设看成人类理性可以洞察的自明之理，数学家自然按照这个标准来要求它。这么一要求，就发现第五公设叙述起来那么复杂，理解起来并不见得容易，很不像一条自明之理。
能不能把第五公设作为公设（即公理）的资格取消呢？这个诱人的思想吸引了欧几里得以后的许多数学家。要把它从公设的行列中赶出去，就只有用别的公设来证明它，使它成为一条定理，但是，企图证明第五公设的努力在两千年中无一例外地都失败了。每一个被提出的证明不是在逻辑上犯了错误，就是隐含地引进了另一条不加证明就承认了的命题。
对第五公设的研究，使人们的几何知识更丰富了。大家弄清楚了：可以用另一些命题代替第五公设而不改变欧几里得几何的内容。这些可以代替第五公设的命题有：“过直线外一点能且仅能作一条平行线”“三角形内角和等于两直角”“过不在一直线的三点有且仅有一个圆”“存在面积足够大的三角形”。但如不引进一条别的命题，就是证明不了第五公设。
到19世纪，数学家开始从反面入手想问题了。这叫作“回头是岸”。他们想：既然两千年的努力都失败了，是不是根本不可能从另外几条公设出发证明第五公设呢？如果假设第五公设不成立，用不与第五公设相容的公设代替它，推演下去又会如何呢？如果出了矛盾，就等于用反证法证明了第五公设。如果永远不出矛盾，岂不是发展出另一套几何系统吗？
果然，罗巴切夫斯基、鲍耶和被称为数学王子的高斯几乎同时地各自独立地发现了这另一种几何学。高斯怕引起争议而没有发表。而罗巴切夫斯基和鲍耶都发表了这一发现。罗巴切夫斯基为这种一开始出现就遭到反对与讥笑的几何挺身辩护，坚持自己的观点。现在，这种几何叫罗氏非欧几何。
在罗氏非欧几何之中，过直线外一点可作无穷多条平行线，三角形内角和小于两直角，相似三角形必全等，圆周率大于π。有许多不符合人们通常看法的结论。
随后，黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π。
非欧几何的发展引起了热烈的争辩与探讨，两千年来，大家以为只有一种真实的几何，那就是欧几里得几何。如果欧几里得几何是真的，另外的几何就应是假的，不相容的，有矛盾的。但是，反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中推出矛盾。恰恰相反，数学家利用在欧氏几何之内构作模型的办法，证明了如果欧氏几何内部无矛盾，非欧几何也无矛盾。
例如，把球面上的大圆叫作“直线”，这样每两条“直线”都相交，由“直线”围成的三角形内角和就大于180。，等等，这正符合黎曼几何，如果黎曼几何有矛盾，那这矛盾一定同样在欧氏几何的平面上表现出来。
又例如，把欧几里得平面上的一个圆的内部看成罗巴切夫斯基平面，每条弦都叫作“直线”，这样，过弦外一点当然可以作无限多弦与此弦不相交，那就是有无穷多条平行线了。按某种特殊的“长度”与“角度”计算方法，可以算出三角形“内角和”小于180。．
这样，三种彼此矛盾的几何又成了同呼吸共命运的三姐妹，一个内部有矛盾，另外两个也就有矛盾！
现在，在我们面前摆出了这样的问题。三种几何学在逻辑上都能自圆其说，那么，哪一种是真的呢？
对纯数学家来说，这个问题好解决。三种都是真的。这就怪了，怎么可能三种都真呢？它们是彼此矛盾的呀？三角形的内角和，到底是大于180。，小于180。，还是等于180。，只有一个是对的呀！
原来，纯数学家所说的真，是指不论哪种几何，只要它的公理公设成立，它的定理就成立。这么说，所谓真，不过指的是其逻辑上不自相矛盾而已。
这当然不能令人满意。进一步问：哪种公理公设是真的呢？
数学家这时会反问，你怎么解释公理公设中出现的术语的意义呢？如果对直线、点等术语不加解释，不知道它们是什么，就不存在公理公设是真是假的问题．数学家经过两千年的折腾，开始想通了：几何体系是个抽象系统，如果对其中的原始术语不给以指定的意义，无所谓真假问题，就如象棋无所谓真假一样。
但数学家这样回答问题，就忽略了哲学上最有意义的问题：如果按通常的意义来理解几何术语，哪种几何是真的？
这样把问题提得更加明确之后，非欧几何的出现就不足以动摇欧几里得几何的地位了。我们仍可以说：欧几里得几何中“直线”的性质，才是与现实空间相符合的，与我们的经验一致的。而另两种几何，虽然逻辑上相容，但其中所说的“直线”，在我们看来并不直。
对欧几里得几何真实性的最严重的挑战不是来自非欧几何，而是来自爱因斯坦的相对论，按照相对论，在引力场中，如果把光线看成直线，则三角形内角和大于两直角。如果把拉紧了的线当作直线，也是一样的。不过，三角形要足够大，边长是天文距离时，才能测量出三内角和与180。的差别，在地球上，是测不出来的。
如果我们把直线理解为光的路径，理解为拉紧了的绳子，那只好承认黎曼几何才是真的。爱因斯坦就是这么个看法。
但前面提到过，直的标准有好多条。原来大家以为这些标准是一致的，现在发现不一致了。如果认为“直线是两点间唯一的最短路线”，特别是认为“圆周率一定是π”才表明半径是直的，那就只好认为，光在引力场中走的是曲线，在引力场中绳子拉不紧，等等。这时，欧几里得几何必然成立。但是，这是因为我们选择的“直”的标准正好是欧几里得几何所要求的。
相对论动摇了欧几里得几何的地位，但没有否定欧几里得几何。它只是要人们在两种几何中作出选择：你要哪种几何？
如果你要欧几里得几何，可以。好处是数学上的简单。在牛顿力学中也适用。在地球上是符合经验的。只是在这种几何体系中相对论的物理语言变得麻烦了，光线走的是曲线，等等。
你也可以选择黎曼几何。它适于描述广义相对论所说的空间现象，在地球上它与欧氏几何在经验上也是一致的。
两种几何哪个是真的？甚至可以连罗巴切夫斯基几何也在内，三种几何哪个是真的？我们可以把它看成这样的问题：华氏温度计告诉我们体温是100度，而摄氏温度计告诉我们体温是36. 5度，哪一个是真的？
如果采用前面“直”的标准中(1)、(2)两条，就会认为欧氏几何的定律是经验假设，它已被事实所否定。而采取(3)、(4)两条时，可以说欧氏几何是永远不会被物理所驳斥的必然真理，但这丝毫证明不了康德关于几何真理是人类的先天洞察的论断。因为采用(3)、(4)两条标准时，实质上是在说：只有符合欧几里得公设的线，才叫作直线！“真”仅仅表现了对术语理解的一致。
现在，物理学选择了黎曼几何，但这并不妨碍中学生照样学他们的欧几里得几何。正如华氏摄氏两种温度计都在使用一样。
两千年间，数学家对公理的看法有了巨大变化。
从前，公理被认为是自明之理。自明之理哪里来的呢？唯心论者认为是人的先天洞察、上帝给人的启示、人对理念的认识等等。唯物论者认为公理来自人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华。二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。但有一点是共同的：公理是真理，相对真理或绝对真理。总之是不必再加证明的命题。
数学家们总是受各种各样哲学观点支配的。即使他不知道哲学家在干什么，他也有自己的哲学观点。数学家也倾向于认为公理应当是自明之理，是真理．只有从真理出发，才能得到真理。
现在，数学家看法变了，没有什么自明之理，即使有，也不必要求数学公理是真理。数学公理是对数学对象的性质的约定。什么是直线，直线就是满足我的这几条公理的某种东西。满足欧几里得公理，叫欧氏直线；满足罗巴切夫斯基公理，叫罗氏直线，等等。
公理对不对，这问题对数学家是没有意义的。数学家只说：如果某一些对象适合于这些公理，它一定也适合于从公理推出的定理，在这个意义上，数学定理总是对的。就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样。它依赖于下棋的规则。
但也不是随便几条凑起来便可以作为公理．首先，公理不能自相矛盾，也不能推出自相矛盾的东西。这叫作公理的相容性或协调性。其次，讲究节约，任一条公理不应当能从别的公理推出来。能推出来，就作为定理算了，何必算作公理呢？这叫作公理的相互独立性。还有一条叫完全性，就是在这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的。不过，一般说来，有了前两条，也就可以了。甚至，有人认为独立性也不重要，最重要的是相容性。
对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思维，现代数学中各种公理系统层出不穷。谁也不说谁的公理不对。不过，有些公理系统很有用，很受欢迎。有些公理系统没什么用，“束之高阁，并不实行”，建立之后渐渐被人们忘了，甚至没有人注意它。
数学家也是人，也要吃饭、穿衣，要靠社会供养。他自然希望自己的研究于人类有用。尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权力，但他总还会想到“有什么用”的问题。这样，实际上被数学家重视的公理系统中的公理，总是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了。
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