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佛宿山人

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数学与哲学(一)  

2016-12-09 18:31:01|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学与哲学

 “万物皆数”观点的破灭与再生

——第一次数学危机与实数理论

古代的哲学家们往往是博学多才的人.他们不但能滔滔不绝地讲他们的哲学道理,也能讲自然科学、社会科学,特别是数学。你不要以为这是因为古人特别聪明,或是后来哲学家们退化了。那时,各门科学还没有分家,哲学是包罗万象的知识部门。而且那时人类的知识比现在贫乏得多。所谓博学,是相对于当时多数人知识贫乏而言的。实际上,古代所谓精通数学的哲学家,他的数学知识未必赶得上今天的一般中学生。

在古希腊,哲学家大都格外重视数学。最早的唯物主义哲学家泰勒斯,提出了原子唯物论的德谟克里特,最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯,都曾到埃及学习几何知识。创立理念论唯心主义体系的柏拉图,也特别推崇数学知识。在这些人当中,最强调数学的,在数学上成就最大的,当推毕达哥拉斯。

11  毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数

毕达哥拉斯曾游历埃及、波斯学习几何、语言和宗教知识。回意大利后在一个名叫克罗顿的沿海城市定居,他招收了三百门徒,建立了一个带有神秘色彩的团体,被称为毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯被他的门徒们奉为圣贤。凡是该学派的发明、创见,一律归功于毕达哥拉斯,这个学派传授知识,研究数学,还很重视音乐。“数”与“和谐”,是他们的主要哲学思想。

他们沉醉于数学知识带给他们的快慰,产生了一种幻觉:数是万物的本原。数产生万物,数的规律统治万物。

他们认为:1是最神圣的数字.122生诸数,数生点,点生线,线生面,面生体,体生万物,首先生出水、火、气、土四大元素,四大元素又转化出天、地、人及万事万物。

现在看来,“万物皆数”的说法当然是荒唐可笑的,但是,毕达哥拉斯在古代哲学中最早指出事物间数量关系所起的重要作用,这在人类认识史上是一个进步。

与此类似,中国古代有“一生二、二生三、三生万物”的说法。这也是万物皆数的哲学思想,但不像毕达哥拉斯那么认真,那么明确,那么系统。

有趣的是,正是毕达哥拉斯自己的发现,导致“万物皆数”观点的破灭。

12  第一个无理数

毕达哥拉斯在欧洲是第一个发现了勾股定理并给出证明的人。据说,他是观察地板上的方形图案时,发现直角三角形斜边上正方形的面积恰好是两条直角边上正方形面积之和,于是受到启发,进一步找出了一般证明的。(图1

根据勾股定理,边长为1的正方形,其对角线的长度应当是√2。毕达哥拉斯(也许是他的门徒)发现,√2既不是自然数,也不是分数。因为,如果有两个自然数mn使

2=nm    nm既约)    (1.1)

则两端平方以后便可得

2m2n2        1. 2

从(1. 2)可见,n是偶数,因为nm既约,所以m是奇数。于是(1. 2)左端不能被4整除,右端可以被4整除,这是个矛盾。

这个事实的发现,是毕达哥拉斯学派的一大成就。因为它不能从经验与观察得出,只能靠抽象的思考证明。它标志着人类的思维有了更高的抽象能力。

关于勾股定理,在中国、巴比伦,有数学家比毕达哥拉斯知道得早得多.但东方数学家始终没有发现2不能表为分数这一矛盾。这也许与东方数学仅着重于解决实际问题,忽视抽象思维有关。这一现象颇有趣。也许数学史与哲学史的研究者能从社会、政治、文化的角度做更好的说明。

但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比——分数。万物皆数,就是万物皆可用自然数或分数表示。如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示,岂不证明自己学派的信条不是真理吗?

毕达哥拉斯学派千方百计封锁,不让这一发现传出去。甚至把泄露了这一秘密的一位青年门徒抛人大海(另一说法是这一门徒发现了2,因而对“万物皆数”有异议,被拋入海),但这个发现最后终于被传播开来。

当时研究数学的希腊学者们,虽然不一定赞同“万物皆数”的观点,但却仍认为在数学当中,算术比几何更基本,更重要。现在知道了有些几何线段不能用数表示,便对数的重要性有了怀疑,转而把几何看成更基本的数学了。于是,几何学的研究便繁荣昌盛起来。直到非欧几何被发现,几何在数学中的基础地位才又让位于算术。

13  无理数之谜

本来,哲学家们认为世界上的量都可以用数表示。因为分数可以描述极小极小的量。在一根长度为1的线上,中点可以用12表示,把线分成3段,分点可以用1323表示,分成5段,分点可用15253545表示,这样,用分数可以表示的点是密密麻麻的。任何两个分数,无论多么近,它们之间还有无穷多个分数,这么多的数,居然还不能表示出线段上某些点的长度,这一事实当时的哲学家感到难以理解,数的万能的力量被否定了。这便是所谓第一次数学危机.

还有,边长为1的正方形的对角线的长度是什么呢?是√2。√2又是什么呢?它是不是数?不是数,它为什么能表示确定的几何量?是数,为什么求不出它的准确值?在这个问题上,欧洲哲学家与数学家在两千多年中一直陷在迷雾之中。数学家们一方面为了解题不得不使用根式,另一方面又说不清带根号而得不出准确值的东西是不是数。直到17世纪,还有一些数学家坚决不承认无理数是数。

无理数之谜与连续性的概念密切相关。

1. 4  连续性的奥秘

世界上有些平平常常的事,仔细想想又有点怪。比如说,两朋友几天不见了,偶然在街上碰见,彼此马上就能认出来,打招呼.能认出来,似乎是当然的事,但细追究起来,这又很怪。几天之内,两人的模样变了没有呢?当然变了。要是几天之内不变,那几年、几十年也不会变,人怎么能由小到大,到老呢,既然变了,又为什么能认出来呢?只能说,变化很小,变化小到什么程度呢?时间越短,变得越小。如果你盯着一个婴儿不停地看,你简直不可能说他在变。但几年之后,他确实明显变大了。这变化是逐渐地,不间断地。

世界上的事物在不停地变化。但我们仍能知道甲是甲,乙是乙,这就是因为事物的变化大多是一点一点改变的,通常不会一下子突然变个样。这就给我们一个感觉:许多变化是连续的。

事物变化的连续性是我们的感觉。感觉不一定准确。电影实际上是由许多不同的画面构成的,它不是连续变化的。但因为相继的两个画面相差甚微,我们便以为它是连续的了。我们的直觉告诉我们,世界上许多事物的变化是真正连续的,不是像电影那样由微小的跃变所组成的。测量技术永远不可能证实这种直觉。事实上,如果物质由分子、原子组成,事物的成长是不可能连续进行的。但这仍不妨碍我们形成“连续”的概念。我们可以想:时间的变化是连续的。运动是连续的。一个点从一条线段的这一端达到另一端,它应当经过线段上的一切点!

经过一切点又是什么意思呢?设线段长度是1,我们来考察运动的点与出发点的距离。在运动中,这个距离从0渐渐地变为1。它经过线段上的一切点,就是这个距离的数值取遍01之间的一切数.

那么,01之间的一切数又是哪些数呢?当初,人们还不知道√2这种无理数,这一切数就指的是比0大比1小的分数。有了无理数,就麻烦了。在01之间有无穷多无理数,√22,√23,√24 ,… ,要多少有多少.是不是把这些带根号的怪物添上就够了呢?很难说。说不定什么时候又发现了新的无理数。

连续性的问题是自古以来哲学家们都谈论过的问题,它与无穷问题密切相关。因为连续变化必然经过无穷个不同的阶段。毕达哥拉斯,芝诺,亚里士多德,莱布尼兹……都讨论过连续性,但如何建立“连续性”概念,却始终是哲学家面前的难题。

这困难不可能在哲学中解决。因为它已转化为数学上的困难:在01之间,除了有理数之外究竟还有哪些数?更进一步:“全体实数”是哪些东西?

在哲学上对连续性的看法是说不清楚的。对于数学家与物理学家,在弄清实数是什么之前,也总是说不清的。例如:

亚里士多德认为,当两个互相接触的物体各自的端点成为两者的共同端点时,就会出现连续的连接。他不承认连续直线由无穷多点组成的说法。

伽利略反对亚里士多德的看法,认为连续的东西可以由无限个元素组成,好比一种可以研成极细粉末的固体。

莱布尼兹提出“连续性定律”,认为世界上的一切都是连续变化的。他和牛顿大体上有相同的看法:数学上的连续性是用无穷小量来定义的一个理想概念。这个无穷小量,似乎类似于伽利略的“极细粉末”。

这里有一个困难:一粒粉末有没有体积?如果体积是0,加起来岂不还是0?如果体积不是0,无穷粒粉末加起来体积又怎能有限呢?可能亚里士多德已经看到了这个困难,所以坚决反对直线(或物体)由无穷多个点组成,但是,正如伽利略指出的那样,有穷个不可分的东西组成的东西,又怎能连续变化呢?

1. 5  戴德金分割

直到19世纪末,即两千多年的探索之后,数学上严格的实数理论建立了,连续统的公认概念才出现。

戴德金与康托几乎同时地提出了实数理论。这里是按戴德金的方法陈述的。

设想一条连续的直线,它由无穷多点组成。取定原点和单位尺度,直线上的许多点都可以用分数表示。这是我们已经知道了的。我们又知道一些不能用分数表示的点,比如2代表的点。我们不知道的是,为了使直线是连续的、天衣无缝的东西,还需要添上些什么。

设想用一把锋利无比的刀,猛地砍向直线,会发生什么情况呢?

这一刀,应当砍在直线的某一点P上。如果不然,砍在空隙里,直线它还能叫天衣无缝吗?于是,如此细的直线被从P处斩为两截。问题是:点P在哪一段上呢?左边,右边?

我们只能说:不在左边,就在右边。(图2

这样一想,直线的连续性就归结为一个直观而简单的事实:不论从什么地方折断,折断的地方总有一个点。

但这会不会成为同语反复呢?“地方”,不就是点吗?

我们可以设法消除这个问语反复的潜在危险,不用点来规定“地方”。

直线上已经有了很多用有理数表示的点。直线一断,就把这些有理点分成较大的和较小的两个集合,两集合之间就确定了一个位置,这就是“折断”了直线之处。

用数学语言说,就是把有理数分成两个集合AB。如果A中每个数都比B中每个数小,这一对集合{AB}就叫作有理数的一个分割。A叫作分割的下集,B叫作分割的上集。有理数的分割确定了上下两集之间的位置。

有时这个位置已经被有理数占据了。比如,A是所有的负分数之集,B是其余的有理数,则B中有最小数00就是直线折断之处,因此,要是A有最大数或B有最小数,就说分割{AB}确定了一个有理数——即A的最大数或B的最小数。

如果A中没有最大数、B中也没有最小数呢?这是可能发生的。比如,所有那些平方大于2的正有理数(如85532,...)组成B集,其余的有理数组成A集。这个分割的下集无最大数,上集也无最小数。它留出了一个空隙,这个空隙就应当请一个无理数填补。这个无理数正是√2

结论有了:有理数的一个分割确定一个实数。这个实数也许是有理数(如果分割不产生空隙),也许是无理数(如果有空隙)。

这种分割叫作“戴德金分割”。说得干脆一点,实数就是有理数的分割。

利用有理数的+、-、×、÷可以规定分割的四则运算;用有理数的大小可以定义分割的大小。也就是定义了实数的+、-、×、÷与大小。

回头再想,问题很简单.把有理数之间的缝隙都填上,直线不就连续了吗?问题本身就提供了解答!这么“简单”的答案,世界上一些最善于思考的脑袋里也居然要两千年才产生出来!

科学的发展,重大概念的产生,是举步维艰的。任何一个创造,在实现之前,都是困难的。因为人们是在无知中摸索.摸到之后,就成为简单的了。

实数说清了,一切事物的量变又可以用数刻画了。

1. 6 连续归纳原理

第一次数学危机被克服了。各种各样的彼此实质上等价的实数理论建立起来了。数学家建立了一系列的定理来刻画实数的性质。

有趣的是,有一条十分简单、十分便于应用和掌握的定理,直到20世纪80年代才被发现。

这就是连续归纳原理,或者叫连续归纳法。它与熟知的数学归纳法十分相似:

关于实数的连续归纳法

Px,是关于实数x的一个命题。如果——

1)有某个实数x0,使对一切实数。x<x0,有Px成立;

2)若对一切实数x<yPx成立,则有?y>0,使Px对一切实数x<y+?成立,那么,对一切实数xPx成立。

关于自然数的数字归纳法

Pn,是关于实数n的一个命题。如果——

    1)有某个自然数n0,使对一切自然数。n<n0,有Pn成立;

2)若对一切自然数n<mPn成立,则Pn对一切自然数n<mPn成立,则Pn对一切自然数n<m1也成立。那末对一切自然数nPn成立。

这两种归纳法极为相似,这在某种程度上说明了连续的实数系与离散的自然数系在一定条件下的统一性.

已经弄清:

(1)它可以作为刻画连续性的公理,以替代目前实数理论中的有关公理。

(2)从它可以用统一的模式推出已知的一系列关于实数的定理。

    3)从它可以用统一的模式证明微积分中涉及连续性的各个命题。连续归纳法的发现,有可能使实数理论变得更加简明而易于掌握。因而它也许会进入微积分的基础教程。

对于连续性的认识,数学上是越来越清楚了。但哲学上的问题依然存在:数学连续性与人的感性上认识的连续性是不是一回事呢?它是不是与人的经验一定符合呢?

有各种看法。

有人认为,数学连续性是精神的实在,而经验是对精神实在的认识。(柏拉图主义)

有人认为,数学连续性是不能用于经验的,它是为了增强初等数学力量的辅助概念。我们只知道它不与初等数学矛盾。(希尔伯特)

有人认为,数学连续性是从经验连续性逐步修改而来的,在一定条件下它与经验是一致的。(庞加莱)

但是,要研究这个问题,就得先弄清什么是我们感觉上的连续性,这就涉及更困难的概念和更深刻的哲学争论和物理理论了。

1.7  “万物皆数”的再生

提出“万物皆数”的观点,是一个错误。因为数是概念,不是物,是物的数量特征在人的头脑中反映为数,不是客观存在的数转化为物。毕达哥拉斯把事情弄颠倒了。

但这个错误的背后是一个人类认识上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性。

“万物皆数”观点的破灭,同样是一个错误。错误在于,认为数不足以表达万事万物了。错误又是由于一个大的进步引起的:发现了无理数。人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机。

这一危机的克服,使数真正具有了表达一切量的能力。

但数学对数的认识并没有停留于此。数的概念在不断扩大:复数,四元数,超限数,理想数,非标准实数,各种各样的数都被创造出来了。数学创造出各种的数,用以表达世界上一切可以精确化、形式化的关系。数学工具、数学方法、数学思想空前地向各个学科渗透。一百多年以前,恩格斯还说过:数学在化学中的应用只不过是一次方程,在生物学中的应用等于0。今天,情形已大不同了。已很难找出一个与数学无关的人类知识领域了。如果我们扬弃“万物皆数”观点中的唯心主义成分,把它理解为万物都与数有关的一种观点,也许未尝不可。

不是吗?一切实在物皆有形,形可以用数描述.运动与变化伴随着能量的交换与转化,能量可以用数表示。人的知识本质上是信息,信息可以用数计取,万物有质的不同,但质又可以用数刻画,人们对世界的认识愈深入,对数的重要性也愈有深刻体会。

辩证法认为一切事物都包含着矛盾,即“一分为二”。为什么一切事物都包含着矛盾呢?为什么是“一分为二”而不是一分为三呢?哲学家对此没有进一步的研究与解答。也许,这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。而数量变化,分解到每一维上,无非是增加与减少。表现出来,当然是矛盾的双方,而不是三方或多方了。

哲学一开始,便与数字结了不解之缘。在数学日益向一切学科渗透的今天,哲学如果想承担起“人类一切知识的概括与总结”的重任,是不是应当从数学中汲取更多的东西呢?

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