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佛宿山人

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数学与哲学(八)  

2016-12-22 12:23:47|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 数学与结构

——布尔巴基学派的观点

对比一下数学史与哲学史,会发现有一点明显的不同。

数学家在前人工作的基础上工作,他们总是用自己的新建筑使前人的工作显得更加完满,更加巩固。数学家总是在承认别人工作的基础上,添上自己的一页。

哲学家也在前人工作的基础上工作,但他们总是要摧毁前人的建筑,用自己的工作证明别人是错的。哲学家总是在批判别人观点的同时,写出自己的一页。

哲学在反复地破旧立新中生长。

数学在不断地建设中发展。

其结果,使数学成为像今天这样的由无数枝繁叶茂的大树构成的森林。它拥有十来个大的分科:代数、数论、几何、拓扑、函数论、微分方程、泛函分析、计算方法、概率论、数理逻辑、运筹学、图论、模糊数学……。这些分科又分为多达数百的分支。每年产生着几万篇论文,提出新概念、新定理,形成新分支,这一切使人眼花缭乱。即使是数学家,当他读着不同分支的论文时,也会有到了异国他乡之感。

哲学由于互相批判而成为多种多样。

数学的各部分是相互支持相互联系的,但由于生长迅速,也显出五光十色、气象万千。使人不由地要问:数学究竟是一门科学,还是一类科学?

历史上,哲学家与数学家很早就试图把数学统一起来,那时数学要比今天简单得多。在毕达哥拉斯时代,只有算术和几何。

毕达哥拉斯做了第一次尝试,希望把数学统一于自然数。这次尝试由于无理数的发现而以失败告终。

以后相当长的时间内,人们寄希望于几何,希望把数学统一于欧几里得几何。最后发现,连几何也是不统一的,这种希望也破灭了。

莱布尼兹、弗雷格和罗素,希望把数学统一于逻辑,使庞大的、复杂的、内容丰富的数学归结为非常通俗的、直观的、易于洞察的逻辑。其结果呢?结果导出了极不通俗、极为复杂而令人难于洞察的层次理论与可划归公理。

直觉主义派的布劳威尔和形式主义派的希尔伯特,又希望数学统一于算术。结果,连算术也不是统一的——这是哥德尔定理的推论。

在所有这些试图把数学统一起来的努力都失败之后,数学却变得更加生气勃勃,更加丰富多彩,更加多样化了。数学不断地用新成果使自己壮大,而且不断地修改着、改组着自己的理论而生出新的分支。以致使人产生一种感觉:数学不是具有统一对象和统一方法的科学,而是一系列建立在局部的、相互之间有千丝万缕联系的精确确定的概念上的学科。

法国的布尔巴基学派,提出了与此相反的观点。他们认为:别看外部现象是多么光怪陆离,五光十色,其实,数学由于内部的进化,比任何时候都巩固了它的各部分的统一,并且建立起比任何时候都更加有联系的整体,形成了数学所特有的中央的核心。

他们认为:数学的各种理论之间的关系是可以系统化的,可以用“公理方法”作统一的总结。

布尔巴基不是一个人,它是一个集体的笔名。这个集体最初的成员是巴黎师范学院的一群大学生。在40多年间,布尔巴基的成员在新陈代谢地变化着,但努力的方向却始终一致。他们计划完成一部百科全书式的数学巨著《数学原理》,对全部现代数学做彻底的探讨与从头的证明。这部巨著已出版了四十多卷,还在不断地出版。它在当代国际数学界产生很大影响,成为现代数学的基本教程。

他们又是怎样用公理方法把数学看成一个统一的科学呢?

8.1  在逻辑长链的背后

数学的表面特征是一连串的推理。

每种数学理论都是由一串串推理的长链构成。所以可以说,演绎推理是数学的特点。

能不能说演绎推理就是数学的统一基础呢?

这样说不能说是错的,但太肤浅。演绎推理是一种方法,一种把思想和思想联结起来的工具。数学家可以用,别的科学家也可以用。就像实验的方法,生物学家可以用,物理学家也可以用,我们能把生物学与物理学统一为一门学科吗?

同理,不能仅仅因为各个数学分支都使用演绎推理的方法,就宣称数学是统一的。应当看到数学推理的长链背后还有更本质的东西。这种更本质的东西,真正反映了数学特点的东西是什么呢?布尔巴基学派称之为“结构”。

在历史上,数学的一大成就是对数的发现,用对数,可以把乘除化为加减,把繁难的乘方和几乎不可能进行的开方化为乘除,一下子把天文学家从大量计算的沉重劳动中解放出来了。

对数理论,表面上是一串三段论式的推理,但数学家靠什么本领找到这些推理环节并把它巧妙地拼接起来呢?这里面必然有一个通贯全局的想法。什么想法呢?

这就是:加法与乘法表面上是极不相同的运算,但在结构上却有相似之处。从1出发,不断加1,得到序列

1234567,……

2出发,不断乘2,也得到序列

2222324……

两个序列在运算关系上也相似,前一序列中有134,后一序列中就有2 . 23 24,即2 X 8 16,认识到这一点,我们就可以不必直接计算2 X 8,而去计算13,得到4,然后就知道2416就是2 X 8的答案了。

由于同一结构可以在不同的事物中出现,但有的事物容易把握,有的事物很难把握,这样,我们可以通过容易把握的事物,来认识难于把握的事物。

人类在经验中早已熟知这种方法。一天一天的日子如流水般逝去,是难以把握的。用刀在树上刻上道道,一天一道,就可以记日子了。道道与日子之间有某种共同结构。

人类早就会使用地图。地图与实际的地理状况之间有相似的结,但地图易于综观全局,易于把握。

有一个“拿15点”的游戏,从这个游戏中可以看出“结构”是多么有用的概念。

桌子上是9张扑克牌,从1点到9点.甲乙二人轮流来取,哪个人先取到3张牌,使3个点加起来是15,他便胜了。

比如甲取5,乙取7,甲取6,乙必须取4,否则甲再取到4便胜了甲又取1,下一次准备取98,因为甲手中已有561,而5191561815.乙既不能阻止甲的两个计划中有一个实现,又无法使手中的7点、4点凑成15点,只好认输。

如果甲取5之后乙取9呢?甲可以再取2,乙必须取8。下一步甲取7,然后准备取36以求胜。乙还是失败。

不过,乙确实有不至于输的策略。但要把各种可能性一一列举出来,是相当麻烦的事,难于一目了然。

现在转而看另一种游戏,叫作九宫棋。在图5(b)的正方形上,画出九宫格。甲乙两人轮流向格内下子。一人用黑子,一人用白子。谁能够先把三子走成一直线,谁就胜了。

这种棋的规律是很容易发现的。棋盘上三子成一线的可能性有8个,即共有8条线。先下的人执黑子,最有利的策略当然是占中,因为中宫在4条线上。而白子只有两种应战之策——边上或角上。边上是两条线的交点,角上是三条线的交点,当然占角有利,事实上,占边必败。(如白占图5(b)7处,则黑占6,白必占5,黑再占3,白即无可奈何。因黑两条线都要成了。)白子占角之后(如占②),无论黑方如何下,白方皆可应对成和棋,如图5(b)

九宫棋和拿15点又有什么关系呢?图5(a)把九宫格内填上数,凡在一条线上的三个数加起来都等于15,反过来,和为15的三个数一定在一条线上,从桌子上拿一张牌,就相当于在九宫格上投一子。拿5点,就是占中,拿2468点就是占角。这样对比一下,便可以发现两个形式完全不同的游戏却有相同的结构。掌握了一种,另一种也掌握了。从九宫棋的规律可以推知拿15点的方法。甲拿5点,乙拿2468点,即可立于不败之地。

上面两个例子(加法与乘法有相似的结构,拿15点与九宫棋有相似的结构)提示我们,把结构相似的对象作为一类作研究,有事半功倍之效。

作为一类又如何研究呢?那就要把结构的特点抽象出来,分解开来,作为单独研究的对象。

下面我们看一看一种最古老的,也是最简单的结构。

8. 2  形形色色的加法

人们谈起一件毫无疑问的事,常常说是“像11等于2”那么确定,那么真实。实际上,即使在数学里,112也是有条件的,不是绝对的,要看是哪种加法,还要看1的含意是什么。

①在实数系里,有理数系里,整系数里,112是确定无疑的。

②电灯的拉线开关,拉一下,灯亮了,又拉一下,灯又灭了,拉两下等于不拉。这叫作110

③操场上的口令:立正,向右转,向后转,向左转之间也可以相加。连续执行两个口令就叫作把两个口令加起来。例如:

向右转+向左转=立正

向左转+向后转=向右转

等等。分别用0123代表立正、向右转、向后转和向左转,就有了一个加法表(图6)。这种加法,叫作“模4同余类”的加法。尽管与日常的加法不同,但112还是对的。

④看一看图7的加法表。从图上可以看出:

111122253

661345554

 

这是一种奇怪的加法。它的做法是:把“+”当成乘法来做,所得的积再除以7,余数就叫作和。例如,345的意思是34除以75.而554是指55除以74.这时,112不成立了。

向东走一公里,再向南走一公里,结果离出发点并不是两公里,而是大约1. 414公里。这叫位移的合成,它是一种向量的加法。这种加法在力学中广泛应用。如力的合成、速度的合成、加速度的合成、这种加法是按平行四边形法则进行的(图8)。

 

这五个表面上极不相同的系统,却具有下列共同的特征:

⑴每个系统都与一个基本集合有关:

①实数集、有理数集或整数集;

②两个动作的集合:拉一下,或不拉;

4个口令的集合;

5个数之集:{123456}

⑤平面上的向量集合,每个向量可以用一对实数(xy)表示。

⑵给了集合中的两个元素,可以唯一地确定出集合中的某元素。这叫作在集合上规定了一种运算,被确定出的那个元素叫作运算的结果。用符号表示,就是给了两元素ab,可以确定一个cab,这里,“+”可以用别的符号代替。如可以认为ca*bcabca×b,都可以,不过一经确定就不要乱变了。我们这里都用“+”号,这个“+”和算术里的加法不一定是一回事。

⑶运算满足结合律和交换律:

(ab)ca+(bc

abba

⑷有这么个元素θ,θ与任何元素运算的结果仍是那个元素,在①中,θ是0;在②中,θ是“不拉线”这个动作;在③中,θ是“立正”;在④中,θ是“1”;在⑤中,θ是0位移,即0向量(00),它们都满足θ+xx+θ=θ

⑸对集合中的每个元素x,一定有另一个元素x,使xxxx=θ

找到了这五个系统的共同点之后,就可以把这些共同点抽象出来加以分析,分析的结果,就得到了“可交换群”(或“加法群”,或“阿贝尔群”)这个十分有用的概念。

可交换群的定义  若在集合G上,有一个二元运算“+”,使对任意aGbG,必有唯一的cGc记作ab,满足:

G1结合律  ab)+ca+(bc);

G2交换律  abba

G3有零元素θ,满足θ+xx(对任一xG);

G4有负元素,对任一xG,有x使

xxθ则称{G,+}是一个可交换群。

这里,G1G2G3G4叫作可交换群的公理,这些公理是互相独立的,哪一个也不能从另外几个推出来。

这样形成群的概念,有什么好处呢?好处在于抓住了不同系统的共同本质。对于进一步研究各个系统有事半功倍,甚至以一当十之效。比方,我们可以从交换群的公理推出另一些性质。例如:

性质1  G中只有一个零元素。

证明 如果有两个零元素θ1θ2,因为θ1是零元素,应当有θ1θ2  θ2 

又因θ2 也是零元素,所以又有

θ1θ2  θ1

因此 θ2 θ1θ2 θ1

我们马上知道,上面的五个系统中,每个系统只有一个零元素,用不着分别做五次证明了。

性质2  G中,如果及abac,则bc

证明 在等式两边都加上a的负元素a*,则

a*+a)+b=(a*+a)+c

因为a*+a=θ,所以bc

于是马上又知道,在以上的五个系统中,这条性质都成立。

运算实际上是一种关系。235就表明这三个数之间有一定的关系,在集合的元素之间建立了具有一定性质的关系,就叫作集合上有了结构。结构的性质,如上面的G1G2G3G4,叫作公理。

这么一来,公理一点不含有“自明之理”的意思了,它是对所研究的结构的规定性,这种规定性是通过总结大量经验,从许多系统的共同点中抽象出来的。

8. 3 基本的结构

数学研究的对象,慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构。

首先是集合。集合好像是一片空地,一张白纸,一群没有分派角色的演员。

一旦在集合的元素之间引进一些关系,集合的元素就有了自己的个性,根据关系的性质,集合上开始出现结构。

结构不是人主观上随意指派的,也不是在理念世界永恒存在的,它是总结大量感性经验上升为概念的结果。

布尔巴基学派认为,数学研究的基本结构有三种,叫作母结构:

一种叫作代数结构。集合上有了运算,能够从两个元素生出第三个来,就叫作有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群,就是一种基本的代数结构。

一种叫序结构,集合中某些元素之间有先后顺序关系,就叫作有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系,生物的亲子关系,类的包含关系,都是序关系。

还有一种叫拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质。

我们看到,这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映:

代数结构——运算——来自数量关系;

序结构——先后——来自时间观念;

拓扑结构——连续性——来自空间经验。

但这些东西一旦抽象成数学概念,成为脱离具体内容的“结构”,它就可以用到任何有类似性质的系统之中,而不一定与时、空、数有关了。

一个系统可以具有几种结构。如实数系,它有加减与乘除,这是两种互相联系的代数结构,它有大小之分,这是序结构,它的连续性体现了拓扑结构。

基本结构可以加上一些公理派生出子结构,两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。对于实数,如果a>b,则ac>bc,这就表明代数结构与序结构联系起来了。通过结构的变化、复合、交叉,形成形形色色的数学分支,表现为气象万千的数学世界。

当数学家遇到新的研究对象之后,他自然而然地会想,所遇的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以,便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器。

历史上有过这样的例子:数学家长期不能理解复数,把它叫作虚数。后来发现,复数可以用平面上的点表示,这个发现相当于把复数的数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数的研究立刻有了实际意义,找到了应用,获得飞速的进展。这表明,把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要。

布尔巴基学派也承认,把数学看成研究各种结构——这些结构以几种母结构为骨架不断地生长、发展——的科学,仍然是对数学现状的粗略的近似。

可以将数学看成是一个不断发展着的大城市,城市的建筑被街道分隔,又由街道联系起来。街道形成结构,建筑在结构的规范中生长。但确有很多有特色的建筑,它的特点无法由街道的结构来解释。这就是结构观点的概括性。它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况,有时也有重要的意义。例如,数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题),就很难与已知结构很好地联系起来。

布尔巴基学派也主张,结构不应当是静止的,数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为数学是一门生命力旺盛的科学,对它不能“盖棺定论”,不会有终极的真理。

总的看来,布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学,这种观点是与辩证唯物论一致的。因为:

它否定了数学知识的先验观点,主张结构来源于人们实践的经验,正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程。

它用整体的观点看数学,着眼于数学各部门的内在联系,说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性。

它用变化发展的观点看数学,主张结构不是一成不变的。

主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验,用科学上的成功经验支持结构观点。

结构观点的产生,不是偶然的。布尔巴基学派自己指出:这是半个多世纪以来(即从19世纪末期到20世纪中期)数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理化方法从欧几里得开始,到非欧几何产生之后,数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法经过第三次数学危机的考验,特别是由于形式主义学派希尔伯特的大力提倡,在数学实践中已生根开花,终于更上一层楼,形成了“结构”的观念。

开始,人们追求公理的完备性,或完全性。也就是说,在公理系统中,任何一个命题的成立与否,只能有唯一的解答。这样,具有完全性的公理系统,实质上只能描述一种对象,例如,欧几里得的几何公理,所描述的对象形式上尽管可以多种多样,但本质上只有一种,这就使公理系统应用的广泛性受到削弱。去掉平行公理,几何公理系统失去了完备性,但它的适用范围更广了。在去掉了平行公理的几何体系中,证明了的定理,在欧氏几何和罗氏几何中都成立。如果再去掉一些公理,用剩下的公理推证出来的定理,在欧氏、罗氏和黎氏几何中都成立,叫作“绝对几何”的定理。

数学家们发现,公理系统的不完全性不是坏事,而是好事。不完全,可以容纳更丰富的对象。公理是对所研究对象的限制。限制愈多,研究面愈窄。限制适当减少,研究成果的适用范围就更加丰富了。

在这种认识的启迪之下,数学家们研究了许多不完全的公理系统。群、环、域、线性空间、概率论、测度论等,数学实践证明,对不完全公理系统的研究有强大的生命力,它促使人们对公理系统进行分解,分解成一些更基本——更不完全的公理系统,终于促成了结构观点的出现。

8. 4  分析与综合的艺术

从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的事物分解为较简单的因素的组合这种认识世界的基本方法。

开始,这种思想是朴素的,带猜测性的。

中国古代的五行学说,认为万物由金、木、水、火、土组成。

古希腊哲学中有万物皆由水、火、气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物皆由原子构成的观点。

到了亚里士多德,开始对科学作系统分类。把逻辑规则化解为一些基本法则——三段论。提出事物产生的四因说,把动物分为种、属等。由猜测的分析进展到具体的分析。

到了中世纪后期,唯物主义的勇士布鲁诺认为物质可以分为最小的单位——单子。

17世纪英国出现的唯物主义经验论哲学学派,开创者为培根,集其大成加以系统化者为洛克。培根已提出对经验分类归纳。到了洛克,进一步提出把观念分成为简单观念与复杂观念,认为复杂观念由简单观念组成。把物体性质分为第一性质与第二性质,等等。

17世纪法国数学家笛卡儿,是近代唯理论哲学的奠基人。他极其明确地提出了取得知识的原则,其中主张:把难题尽可能地分成细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简单、最容易的认识对象开始,上升到对复杂对象的认识。他同时主张,世界由三种基本要素组成。

比笛卡儿略晚一些的数学家、哲学家莱布尼兹,主张世界由“单子”组成。但他的“单子”与布鲁诺不同,是“上帝”发射出来的,本质上精神的单子。

18世纪英国的唯心主义经验论者,如贝克莱、休谟,主张存在即被知觉。把事物分解为感觉的组合。

康德把人能够取得物理学知识的先天思维能力称为“知性”,把知性分为四组12种。

辩证法主张分析,认为分析就是分析事物的矛盾。

西方哲学大师罗素,被誉为开一代分析哲学之新风,他主张建立真理体系的方法是分析。

总之,人类在认识事物的过程中,总是想到“分”,把事物分解之后,再合。

科学的进步,也体现出不断地分!

物理学的尖端研究,是对基本粒子的认识;

化学,把物质分成纯物质,纯物质又分解成元素;

生物学,把动植物从总体上分为门、纲、科、目,把个体分为器官、功能系统,直到分析出细胞,又对细胞进行分解;

数学的发展中,也在一次一次地分。

毕达哥拉斯的万物皆数,把数等同于物,反映出他还没有能力把数与物分开。

更早一些,有些部族在语言里没有单独的数,数总是和东西连在一起:3只鸡,3个人,3株树,但没有“3”。

把数单独分出来,是一个飞跃。

但在相当长的时间内,无理数总是联系几何量,分不出来。实数理论的建立,把数与形终于分解开了。

欧几里得几何公理系统中的第五公设,经过两千年的研究,终于被分出来了。这一分就是非欧几何的出现,使几何学空前丰富起来。

在第三次数学危机中,逻辑主义也好,直觉主义也好,形式主义也好,它们的基本想法,总是把数学看成不可再分的东西,希望一劳永逸地对数学作出先验的处理。

这时,由于数与形的分离成功,使数学归结为“数的科学”,但没有对数进一步的分解。

结构观点,实质上是对数作了成功的分解。

数可以作运算,从这一点着眼,分出了代数结构。一旦代数结构与数分离,它就成了更高一级的抽象物。运算就可以施于其他对象:逻辑命题、几何变换、文字语言。

数可以比较大小,从这里分出了序结构。序结构一旦与数脱离,就获得了更丰富的内容,类的包容关系,生物的亲子关系,逻辑的蕴含关系,都可以放在序结构这一抽象概念之下讨论了。

实数系是连续的,整数系是离散的,因而数具有拓扑结构。数的拓扑结构是从形那里继承来的,因为形已被归结为数。拓扑结构一旦与数和形脱离,就可以用于更广泛的系统。我们可以讨论物理系统相空间的拓扑结构,有限个对象之间的关系网络的拓扑结构,等等。

结构与数的分离,意味着数学研究对象提升到一个更高的抽象层次。

恩格斯时代,数学研究对象还限于空间形式与数量关系。

现在,数学完成了进一步的抽象,使形式脱离空间,使关系脱离数量。把纯形式与纯关系作为研究对象了。

可是,形式与关系的区别,本源于空间与数量的不同,一旦抽象出纯形式与纯关系,形式与关系之间的区分就不再是必要的了。纯关系,无非是关系的形式。纯形式,也只能表现为形式之间的关系。两者已是一回事,于是称之为结构。

当数学家研究数量关系时,哲学家,特别是怀疑主义的哲学家可以提出问题:你们所研究的关系是不是真理?它是不是真的不折不扣的数量关系?

当数学家研究空间形式时,哲学家,特别是怀疑主义的哲学家可以提出问题:你们所研究的形式,是不是我们这个真实空间的性质?

现在,数学家研究的是结构,怀疑论者又如何责难呢?数学家准备了一套一套的结构。只要哪种对象符合某一套结构的条件,关于这个结构的结果便可以用上去。这里,问题只在于选择适当的结构,而不在于数学结论是不是真理。由于结构已是纯粹的抽象物,关于结构的性质只接受逻辑的检验,因而成为可信的真理。

当一个裁缝加工定做的服装时,顾客可以指责尺寸错了,颜色错了,布料错了,等等。一旦服装设计脱离了具体的人,那就不发生错的问题,只有个选择问题,这里有各式各样的服装,请您试穿.您不必说哪种服装错了,说不定是另一位的爱好呢!

但是,如果裁缝以此为理由而随心所欲,不调查体型,不研究心理,不适合潮流而乱做一气,那也只有关门大吉。

数学家把结构作为研究对象,好比是不再单为固定的顾客加工服装了。他面向普遍的需要,他占领广大的市场,哪些结构要增加,哪些结构要修改,这信息来自科学实践。

社会实践仍然是检验真理的标准。

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