数学在它成长的过程中，一再取得辉煌的胜利，征服了无数难题，但也碰过不少钉子，发现有些本来想做而又没做到的事是确实不可能做的。对这种不可能性的认识，实际上也是辉煌的胜利，且是更深刻的胜利。
在这个意义上，数学没有失败过。
古希腊数学家，提出过用圆规直尺三等分任意角、作出面积等于已知圆的正方形、作出体积为已知立方体的2倍的立方体等问题，人们碰了两千年钉子，终于证明了这都是不可能的。这是一大胜利。
数学家早就会解一次和二次代数方程。到了16世纪，又发现了三次和四次代数方程的求根公式。在成功的鼓舞下，进而寻求五次和更高次方程的根式解法。经过200多年的努力，终于证明了这是不可能的。这又是一大胜利。
从欧几里得的《原本》诞生后不久，数学家就开始努力证明第五公设。两千多年的钉子没有白碰，结果是非欧几何的出现。数学家从此对“公理”的意义有了新的认识，这可以说是从反面得来的最大胜利了。
对几何基础的研究，使数学家认识到公理系统应具有的特点，那就是独立性，完全性，协调性。
独立性是指：一条公理不能从另几条公理推出来。
完全性是指：在这个公理系统中，任何一条命题，或者可以被证明，或者可以被否定。在欧儿里得几何中，如果去掉了平行公理，就不是完全的了。因为平行公理作为一条命题，既不能被证明，也不能被否定。添上平行公理，或添上平行公理的反面命题，可以证明一定是一个完全的系统，在数学中，一般说来，公理的完全性并不重要。
协调性是指：从公理出发，推不出矛盾来。这当然是最重要的。如果数学结论可以自相矛盾，那数学还有什么意义呢？
协调性的证明，开始是用构造模型的方法。例如，在第二章里谈过，可以在欧氏几何之内构造一个非欧几何的模型——也就是用欧氏几何的术语给非欧几何一个解释。如果欧氏几何是协调的，欧氏几何内部的模型也不会出现矛盾，因而非欧几何也是协调的。
那么，欧氏几何是不是协调的呢？又可以在实数公理系统之内为欧氏几何构造一个模型。这就是大家熟悉的解析几何提供的方法：把一对实数(x，y)叫作点，把一次方程ax＋by＋ c ＝0叫作直线……。这就可以证明欧氏几何的协调性，如果实数公理系统是协调的话。
实数公理系统的协调性，可以在有理数系统内构造模型而得到证明，即用我们在第一章里讲的戴德金分割的方法。有理数系统的协调性，只有靠在自然数系统内构造模型了，这种模型就是把分数看成一对自然数。
这样构造模型，只能证明这种类型的结论：如果一个系统是协调的，则另一个也是协调的，这叫相对协调性。
最后，关于自然数系统的协调性，即算术协调性，如果不考虑集合论的话，就成了全部数学协调性的最后依托了。
希尔伯特提出了雄心勃勃的计划，希望证明算术系统的完全性与协调性，他说：“如果在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每人所学的、教的和应用的那些最普遍的概念结构和推理方法竟会导致荒谬，如果连数学也失灵的话，我们应该到哪里找寻可靠性和真理呢？是，有一种完全令人满意的方法可以避免这些悖论。”
什么方法呢？就是上一章我们介绍过的他的形式化公理方法。希尔伯特希望证明他构作的这个算术形式系统的协调性和完全性。即达到两点：所有算术的真理都可以得到形式上的证明，所有形式地证明了的算术命题都是真理。这样，由于数学已划归为算术，数学的真理性将建立在一个牢固的、通常的、直觉上可以承认的基础之上。
哥德尔定理的发现给这种希望以沉重打击。
青年数学家哥德尔在1931年发表的一条定理，使许多的数学家和哲学家都大吃一惊。
定理说：在包含了自然数的任一形式系统中，一定有这样的命题，是真的，但不能被证明。（当然要假定系统是协调的，否则，任一命题的正面与反面都可以用反证法证明了。）
长期以来，数学家和哲学家总觉得，数学的真理总是可以证明的。哥德尔定理表明，“真”与“可证”是两回事。
从道理上想，倒也可以理解，比如哥德巴赫猜想：
“每一个大于2的偶数都可以表为两个素数之和”它对每一个偶数都是可以检验的。但偶数无穷，一个一个地检验下去，如果猜想是错的，我们总会在某一天认识到它是错的。如果它是真的呢？只好永远检验下去了。
于是我们希望证明它。即对所有偶自然数，发现一个共同的理由来说明它应当可以表为两个素数之和。但凭什么无穷多件事实该有一个共同的理由呢？很可能有无穷多种理由要分别指出，而不存在一个有限的统一证明。
是不是我们的公理系统不够完备，忽略了自然数的某些性质，因而使某些真命题证不出来呢？不是的。即使再添上一百条公理，仍有证不出来的真命题。因为哥德尔定理肯定了：任何一个包含了自然数的形式系统，都有证不出来的真命题。添上公理之后，它仍然是包含了自然数的形式系统。
这就告诉我们，自然数的性质无限丰富，任何一个形式系统都休想将它全都包罗进去。希尔伯特想建立一个具有完全性的形式算术系统的希望是不可能实现的了。
那么，算术系统的协调性又怎么样呢？哥德尔接着又证明了一个定理：
任何包含了自然数的形式系统，如果它是协调的，它的协调性不可能在系统之内得到证明。
这样，希尔伯特的两个目标都落了空。
哥德尔定理的证明很长，需要一系列预备知识，这里可以从基本思想上弄通，怎么可能证出一个“总有不可能证明的真命题”这么一个古怪的定理出来。
有一个古老的悖论，叫说谎者悖论。就是这么一句话：
“我在说谎。”
这是不是谎话呢？是谎话，它就是真的。如果是真的，它就是谎话！
哥德尔把它修改了一下，变成
“本命题是不可证明的。”
这好像在悖论的边缘活动，但并没掉入悖论的陷阱。
如果这个命题可以证明，它就否定了自己，就表明自己是假的。因为在协调的系统中，可证明的都是真的，所以它一定不可证明。
如果这个命题的否命题可以证明，就表明它本身不可证，因为协调系统中不可能同时证明相互矛盾的两个命题。它本身不可证，又表明它是真的，所以否命题也不能被证明。
哥德尔用精致的手法把这个命题和上面的推理过程巧妙地转换成形式系统中的合理而严格的表述形式，就证明了不可证的真命题的存在。
所谓命题的“真”，有没有确切含意呢？是有的。哥德尔所构造的这个命题，是涉及自然数n的命题。对每个具体的n，它都可以检验并证明其真。但是，却不能从公理出发用逻辑规则把它推出来。
哥德尔定理还可以用另一个悖论来说明，这就是理查德悖论。
理查德悖论发表于1905年，这个悖论从实数的文字定义出发。例如：“圆的周长与半径之比”就定义了圆周率π，“小于10的最大素数”就定义了整数7，等等。因为文字符号是有限的，每一个定义的长度也是有限的，因而可以把所有的能够用文字符号定义的实数按定义的字典排列法编号：1号，2号……然后考虑这样一个实数，它的定义为：“a是这样的实数：如果第n号实数的第n位小数是0，a的第n位小数就是1，否则a的第n位小数为0。”这就又用文字符号定义了一个实数，它和1号，2号……都不同。但是，我们不是已经把所有的实数都编了号吗？这就有了矛盾。
按照下述方式，可以把理查德悖论改造成哥德尔定理。
形式系统中那些包含有自由变元n的命题形式，例如“n2－1必可被6整除”之类，可以按字典排列法编号。1号命题，2号命题，等等。然后规定：
现在构造一个命题形式P(n)：“an＝0”，于是，P(n)应当是已编过号的某一命题形式。设它是第k号命题形式。现在考虑命题P（k），它的含意是“ak＝0”，即ak为1时它假，ak为0时它真。如果它可证，就应当有bk ＝1－ak但一定有bk≤ak（可证一定真），故bk＝0而ak＝1，即有一个真的不可证的命题。
哥德尔把这些推理转换成形式系统里合理的表述，就完成了他的定理证明。
在四千多年之久的悠长岁月中，所有的哲学家、数学家、物理学家都深信只有一种正确的几何，就是欧几里得几何。只有这种几何才真实地描述了我们在其中生活的空间。
19世纪，非欧几何出现了。人们恍然大悟，原来几何可以不止一种。
那么算术呢？1，2，3，…，自然数是如此之具体、简单、清楚、明白。算术总该只有一种吧？自然数的性质，总应该包含在它的一个接一个地产生出来这种模式之中吧？
哥德尔定理的发现，使这种希望落了空。既然有一个命题，它的正反两个方面都无法证明，那就可以把这正反两个命题分别加到算术公理系统里，得到两种算术，得到的两种算术里，仍然有正面反面都不能证明的命题，于是又可以产生更多的算术。
许多不同的算术系统，它们有共同的部分，这部分不妨叫作绝对算术。它通常是算术中可以证明的那些结果。另外有些命题，在不同的算术中有不同的结论。公有公理，婆有婆理。
想象一下，在某个算术系统中，哥德巴赫猜想成立，而在另一个算术系统中，哥德巴赫猜想不成立，这就比欧氏几何与非欧几何的矛盾更难理解了。
这告诉我们，形式系统尽管很有用，是数学研究的有力工具，但它不是万能的。它不足以帮我们认识全部的数学真理。
哥德巴赫猜想（或其他数论中的难题）是不是正确，客观上应当有唯一的回答（不过，这只是绝大多数数学家和逻辑学家的看法！直觉主义数学家不承认排中律，也就不承认唯一可能回答的存在）。但在不同的系统中却有不同的结论而各自都不产生矛盾，这岂不是荒谬的事吗？
这说明，形式的证明与客观的真，两件事一般是统一的，但也存在着对立的一面。形式证明是有限的，而自然数是无穷的。用有限的手段难于描述无穷的性质，这在哲学上也并没有什么不合理之处。
从数学的角度也可以解释形式系统的局限性。
在形式系统中，一个含有变元n的公式可以叫谓词，例如：“n是素数”。当n取具体的自然数时，公式可以成为真命题或假命题。像“3是素数”是真的，“6是素数”是假的。这就把自然数分成两个部分。或者说，确定了自然数的一个子集合——使公式成为真命题的自然数之集。
公式可以编号。被公式所确定的自然数子集也可以编号，但是，自然数的所有子集是不可数的，所以一定有大量的自然数子集不与形式系统中的公式相联系。也就表明：任何形式系统不足以描述出自然数的一切性质。
话又说回来了。人的推理总要采用语言与符号，总可以表述为有限长度的符号列。这表明，无论用什么方法，总有一些自然数的子集是人类无法了解，甚至无法描述的。但我们又无法具体指出这些子集。因为一旦指出，也不就是描述出来了吗？
这里显示出人类认识的有限性与客观规律的无限性的矛盾。自然数从0或1开始，一个一个地增加，这过程是至为简单的。由具体的1，2，3到“任一个自然数n”，这个飞跃已包含着认识上的一些困难了。因为n可能大得无法想象，一旦假定有了“全体自然数”，这就完全超乎我们的直觉能力，只有靠思维来认识它了。
但是，对纯粹的无穷，与有穷完全割裂开的无穷，认识它又有什么用呢？只有与有穷相联系的无穷，我们才需要认识。我们认识的无穷，恰好是它可以表现为有穷性质的那一些。人类应当以此满足。而大可不必为不能了解自然数的许多子集而苦恼。
哥德尔定理让我们看到数学演绎推理方法的局限性。
但是，数学能自己论证自己的局限性，这又显示了数学方法的力量。
存在着在形式推理范围内不可证明的真命题，其实也没有什么了不得。人类对事物规律的认识总可以不断深入。在形式系统内不可证的命题，也许可以在系统之外——在更大的系统之内来证。
比方说，我们如果能知道哥德巴赫猜想在现在的算术系统里是不能证明也不能反证的话，就可以断定它一定成立。因为如果它不成立，必然可以被反证，这种推理方式已超出了形式系统的规则，当然，现在我们并不知道它能不能被反证。
我们也许还可以不断扩大算术形式系统，使系统能一次又一次地更全面地反映自然数的性质。尽管形式系统永远也不可能给自然数系以完全的描述，但人类的认识总能一次比一次更深入。
哥德尔定理表明，即使在数学这样最精确最严密的科学之中，也存在这样的事物，人对它的认识，永远也不可能达到绝对真理的地步。绝对真理是无数相对真理的总和，人只能在认识相对真理的过程中逼近绝对真理。
另一方面，哥德尔定理告诉我们，数学的协调性不能在算术的形式系统之内得到证明。但并没有否定这种可能：在形式系统之外证明算术的协调性。
确实，另外一些数学家，如甘岑（1936年），阿克曼（1940年），诺维科夫（1943年），洛仑岑（1951年），许特（1951年），卡洛多夫斯基（195 9年），史坦尼斯（1952年），竹内外史（1953年），还有哥德尔本人，都作出过算术协调性的证明。当然，由于有哥德尔定理，这些证明都不可避免地要用到形式算术系统之外的一些假定。也就是说，在比算术系统更大的系统之内来证明算术的协调性。更大的系统是不是协调的呢？还要在更更大的系统中来证。总之，不能在系统自己内部来证。
我们看到了一个有趣的现象。包括微积分、几何在内的整个数学的协调性，是逐步划归到越来越小的系统的协调性的。到了算术系统，小得不能再小了，再想证明协调性，就反而要把系统扩大了。这真是“物极必反”！
对数学基础的研究正是这样，当人们觉得已把问题弄得越来越简单、越明白，到了最后关头之际，忽然发现一切变得复杂起来了。
当人们以为自己手里这一次捉到了“终极的真理”时，它像泥鳅一样一滑便从指缝中溜走了。
恩格斯有一次谈到，人看不见紫外线，但人知道蚂蚁能看得见紫外线，这显示了人的智慧。
类似地，数学不能在自己内部圆满地证明自己的协调性，但数学自己能证明这种不能证明性。这表明了数学已发展到空前成熟而深刻的阶段。像一个成熟得能对自己作出恰如其分评价的成年人——他已经不再是不知天高地厚的毛头小伙子了。
但数学依然信心十足。它即使不能证明自己的协调性，也依然为各门科学所信任。数学的力量与真理性最终是在它的广泛而有效的应用中被证明的。它自己不能证明自己，看来是合理的。实践才是检验真理的标准。
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